「题解报告」P4577 [FJOI2018]领导集团问题

题解 P4577 [FJOI2018]领导集团问题

题解区好像没有线段树上又套了二分的做法，于是就有了这片题解。

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怀着必 WA 的决心交了两发，一不小心就过了。

题意

求一个树上最长不下降子序列。

思路

首先考虑裸的 dp：设 \(f_{u,j}\) 表示以 \(u\) 为根的子树里选的数的最大值不小于 \(j\) 能选多少个。

\[f_{u,j}=
\begin{cases}
\sum_\limits{v\ is\ u's\ son}f_{v,j} &j>w_u\\
\max\{\sum_\limits{v\ is\ u's\ son}f_{v,j},\sum_\limits{v\ is\ u's\ son}f_{v,j+1}+1\} &j\le w_u
\end{cases}
\]

接下来是如何优化：

在 DFS 每个节点的过程中，用权值线段树维护 \(f_{u,j}\)。

首先把所有儿子的权值线段树和起来。

然后考虑在什么区间选上这个节点更优。

右端点肯定是 \(w_i\) ，那么我们二分求左端点，即二分一个最小的选了比不选更优的点。

单点查询用权值线段树，合并儿子们的树用线段树合并，区间修改用标记可持久化。

时间复杂度是 \(O(nlog^2n)\)。

虽然慢到起飞但是能过。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define _for(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define for_(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define ll long long
#define bdmd int mid=(l+r)>>1
using namespace std;
const int N=2e5+10,inf=0x3f3f3f3f;
int n,cnt,w[N];
vector<int>son[N];
inline int rnt(){
	int x=0,w=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*w;
}
namespace LISAN{
	int ls[N];
	void LiSan(){
		_for(i,1,n){
			ls[i]=w[i];
		}
		sort(ls+1,ls+n+1);
		cnt=unique(ls+1,ls+n+1)-ls-1;
		_for(i,1,n)
			w[i]=lower_bound(ls+1,ls+cnt+1,w[i])-ls;
		return;
	}
}
class ValSegmentTree{
 public:
	int root[N],tot,uucnt,un_use[N*40];
	class TREE{
	 public:
		int left_son,right_son;
		int val=0;
	}tree[N*40];
	const TREE NONE=(TREE){0,0,0};
	#define ls(p) tree[p].left_son
	#define rs(p) tree[p].right_son
	#define l_s(p) tree[p].left_son,l,mid
	#define r_s(p) tree[p].right_son,mid+1,r
	#define va(p) tree[p].val
	#define bdmd int mid=(l+r)>>1
	inline int NewP(){
		if(uucnt)
			return un_use[uucnt--];
		return ++tot;
	}
	inline void DeleteP(int p){
		tree[p]=NONE;
		un_use[++uucnt]=p;
		return;
	}
	void UpdateQJ(int &p,int l,int r,int le,int ri,int val){
		if(!p)p=NewP();
		if(ri<l||r<le)return;
		if(le<=l&&r<=ri)
			va(p)+=val;
		else{
			bdmd;
			UpdateQJ(l_s(p),le,ri,val);
			UpdateQJ(r_s(p),le,ri,val);
		}
	}
	int QueryP(int p,int l,int r,int x){
		if(!p)return 0;
		if(l==r)return va(p);
		else{
			bdmd;
			if(x<=mid)
				return va(p)+QueryP(l_s(p),x);
			else
				return va(p)+QueryP(r_s(p),x);
		}
	}
	void Merge(int &p1,int p2){
		if(!p1){p1=p2;return;}
		if(!p2){return;}
		va(p1)+=va(p2);
		Merge(ls(p1),ls(p2));
		Merge(rs(p1),rs(p2));
		DeleteP(p2);
		return;
	}
	#undef ls
	#undef rs
	#undef l_s
	#undef r_s
	#undef va
}tr;
void Dfs(int u,int father){
	int sz=son[u].size();
	_for(i,0,sz-1){
		int v=son[u][i];
		if(v==father)continue;
		Dfs(v,u);
		tr.Merge(tr.root[u],tr.root[v]);
	}
	int xuan=tr.QueryP(tr.root[u],1,cnt,w[u]+1)+1;
	int l=1,r=w[u];
	while(l<=r){
		bdmd;
		if(tr.QueryP(tr.root[u],1,cnt,mid)>=xuan)
			l=mid+1;
		else
			r=mid-1;
	}
	tr.UpdateQJ(tr.root[u],1,cnt,l,w[u],1);
	return;
}
int main(){
	n=rnt();
	_for(i,1,n)w[i]=rnt();
	LISAN::LiSan();
	_for(i,2,n){
		int x=rnt();
		son[i].push_back(x);
		son[x].push_back(i);
	}
	Dfs(1,0);
	printf("%d\n",tr.QueryP(tr.root[1],1,n,1));
	return 0;
}