Codeforces Round #585 (Div. 2) E. Marbles （状压DP），BZOJ大理石（同一道题）题解

题意

林老师是一位大理石收藏家，他在家里收藏了n块各种颜色的大理石，第i块大理石的颜色为ai。但是林老师觉得这些石头在家里随意摆放太过凌乱，他希望把所有颜色相同的石头放在一起。换句话说，林老师需要对现有的大理石重新进行排列，在重新排列之后，对于每一个颜色j，如果最左边的颜色为j的大理石是第l块大理石，最右边的颜色为j的大理石是第r块大理石，那么从第l块大理石到第r块大理石，这些石头的颜色都为j。

由于这些大理石都比较重，林老师无法承受这些大理石的重量太久，所以他每次搬运只能交换相邻的两块大理石。请问，林老师最少需要进行多少次搬运？

第一行输入一个数字n（2≤n≤4*10^5），表示大理石的总数。

第二行输入n个数字a1，a2…,an（1≤ai≤20）表示第i块大理石的颜色为ai。

输出一行一个数，即林老师最少需要搬运的次数。

给你一个序列，你可以交换相邻的两个数，要达到一个要求，所有相同的数都相邻，问你交换次数最少是多少。

题解

别人的：https://www.cnblog*.com/Lis-/p/11537603.html

上面的大佬解释的不是很清楚，因此我来详细地写一篇。

我们必须分析出一些结论。

在交换数之后，必然形成的是相同数字“聚居”的一条数链，所以不同数字形成的唯一连续子段都有严格的先后关系。如果所有数字A要在B后面，有i<=j,且a[i] = A,a[j] = B,在交换时是否一定会有某时刻a[i]要与a[j]相邻并交换？。。。。。。答案是一定的，相当于一次交换只能左或右移动一位。

那么反过来，如果交换左右相邻的两数不同，则最后左边的数一定全是在右边的数左边的......

如果最后形成的是：............2 2 2 2 ，即所有的4个 2 都在最后，则在第一个2和最后一个2之间的 !=2 的数（牵连着最后一个2之后同种的数）肯定都在“............”里，换言之，可以通过求这些数的数量，即分别求a和b之间相邻交换的次数来求出答案（？）

这是一道较复杂的题，但是数据很小（种类数<=20），曾经某位大佬说过，这种小数据要么搜索，要么状压DP。我用的是状压，但状态要怎么表示呢？显然，我们不能把20个种类最终的"站位"用二进制表示，但是20个种类最终的"站位"就决定了答案，所以我们可以只记录最终序列的前缀的组成部分（晕），就是表示若干种类的所有数堆在前面。。。

举个例子：

原数组：1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5......

k = 0101

dp[k]（dp[0101]）就表示排在前两组的是所有的1和3，k表示的状态要么是{1 1 1 3 3 3 ......}，要么是{3 3 3 1 1 1 ......}，即dp[k]就表示在这两种状态中交换次数最少的一种状态的交换次数。状态表示得如此不明确，但是却可以在求 dp[0111] 并假设2在最后时应用dp[0101],求出dp[0111]的答案。

详见代码

期年之后的下一篇：消防局的设立