[笔记] Powerful Number 筛

定义

Powerful Number（以下简称 PN）筛类似于杜教筛，可以拿来求一些积性函数的前缀和。

要求：

假设现在要求积性函数 \(f\) 的前缀和 \(F(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)，需要存在一个函数 \(g\) 满足：

• \(g\) 是积性函数。
• \(g\) 易求前缀和。
• 对于质数 \(p\)，\(g(p)=f(p)\) 。

Powerful Number

定义：每个质因子次数都 \(≥2\) 的数。

性质：

• 所有的 PN 都可以表示成 \(a^2b^3\)。

• \(n\) 以内的 PN 至多是 \(O(\sqrt n)\) 个，可以积分证明。

枚举：线性筛出 \(\sqrt n\) 以内的质数，dfs 搜索每个质数的指数，时间复杂度 \(O(\sqrt n)\)。

原理

首先，构造出合适的 \(g\)，记 \(G(n)=\sum_{i=1}^ng(i)\)。

然后考虑另一个函数 \(h\)，满足 \(f=g*h\)，故 \(h\) 也为积性函数，且 \(h\) 仅在 PN 处不为 \(0\)。

首先考虑质数 \(p\)，\(f(p)=g(1)h(p)+g(p)h(1)=h(p)+g(p)\)，故 \(h(p)=0\).

又 \(h\) 是积性函数，故对于非 PN 的数 \(n\)，都有 \(h(n)=0\)。

现在，根据 \(f=g*h\) 有：

\[\begin{aligned}
F(n)&=\sum_{i=1}^nf(i)\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}h(i)g(\frac{i}{d})\\
&=\sum_{d=1}^nh(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}g(i)\\
&=\sum_{d\text{ is PN}}h(d)G(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\end{aligned}
\]

那么现在要考虑的问题就只是 PN 处 \(h\) 的取值如何计算，也就是计算 \(h(p^c)\)。

根据 \(f=g*h\)，可得 \(h(p^c)=f(p^c)-\sum_{i=1}^cg(p^i)h(p^{c-i})\)。

也可以考虑直接推 \(h\) 的式子。

复杂度分析

可以分为计算 \(h(p^c)\) 和搜索两部分进行分析。

• 根据 \(O(\sqrt n)\) 内的素数个数为 \(O(\dfrac{\sqrt n}{\log n})\)，因此时间复杂度为 \(O(\sqrt n\log n)\) 。

  此处计算的上界较为宽松，可以根据题目优化。

• 对于搜索部分，由于 \(n\) 以内的 PN 至多有 \(O(\sqrt n)\) 个，所以至多搜索 \(O(\sqrt n)\) 次。对于每一个 PN，假设计算 \(G(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\) 的时间复杂度为 \(O(1)\) ，则第二部分的复杂度为 \(O(\sqrt n)\)。

  特别地，若杜教筛计算 \(G(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\)，则时间复杂度为杜教筛的时间复杂度，即 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)。

  对于空间复杂度，其瓶颈在于存储 \(h(p^c)\)，若使用二维数组 \(a\) 记录，\(a_{i,j}\) 表示 \(h(p_{i}^j)\) 的值，则空间复杂度为 \(O(\sqrt n)\)。

void Enum(int x, LL d, int Hd){
	if(x > pcnt || (__int128) d * pri[x] * pri[x] > K){
		MOD(Ans += G(K / d) % mod * Hd % mod - mod);
		return;
	}
	Enum(x + 1, d, Hd);
	int cnt = 2; LL s = (LL) pri[x] * pri[x];
	while((__int128) d * s <= K){
		Enum(x + 1, d * s, (LL) Hd * H[x][cnt] % mod);
		if((__int128) s * pri[x] > K) break;
		s *= pri[x], ++cnt;
	}
}