群论中的 Lagrange 定理

今天跟 hym 打球时讲到了这个东西，突然发现证明拉格朗日定理的思想有许多跟轨道-稳定集定理很像，所以这里又记录一下。

为了证明 Lagrange 定理，我们需要了解一些关于子群和陪集的性质。

首先给定一个群 \(G\)，那么记 \(H\leq G\) 表示 \(H\) 是 \(G\) 的子群。

对于一个子群，我们称它的左陪集：\(gH=\{gh|h\in H\}\)，右陪集 \(Hg=\{hg|h\in H\}\)。

判定子群有一个充要条件，即 \(\forall a,b\in H,ab^{-1}\in H\)。

我们考虑不仅仅取 \(a,b\in H\)，而是 \(a,b\in G\)，定义一种等价关系 \(x\sim y\iff xy^{-1}\in H\)。

也就是说 \(\exists h\in H,x=hy\)，而任取一个 \(h\in H\) 都可以确定一个 \(x=hy\)，这意味着 \(x\) 所在的等价类就是右陪集 \(Hx\)。

由群的性质可以证明这确实是一个等价关系。跟轨道-稳定集定理划分等价类的思想一样，我们考虑用上述等价关系把群 \(G\) 分解成若干个右陪集。

然后考虑每个陪集的大小 \(|Hg|\)，利用消去律建立双射可以发现 \(|Hg|=|H|\)，这也就证明了 \(|H|\) 的阶整除 \(|G|\) 的阶。上述证明对左陪集同理。

我目前了解到 Lagrange 定理在 OI 中的应用一是可以说明数论中“阶”的性质，二是利用真子群的大小至多是原群的一半证明数论算法的复杂度。