「学习笔记」tarjan求最近公共祖先

Tarjan 算法是一种 离线算法，需要使用并查集记录某个结点的祖先结点。

并没有传说中的那么快。

过程

将询问都记录下来，将它们建成正向边和反向边。

在 dfs 的过程中，给走过的节点打上标记，同时维护并查集，这里利用了回溯的思想，如果 \(u\) 节点的这棵子树没搜完，那么 fa[u] = u;，搜完后，在更新并查集。

我们假设查询 \(u\) 和 \(v\) 的最近公共祖先，搜到节点 \(u\)，如果另一个节点 \(v\) 已经被搜到过了，那么 \(v\) 点的并查集祖先就是 \(u\) 和 \(v\) 的最近公共祖先。

如果第一次查询 \(v\) 点时，发现 \(v\) 点已经被搜到了，说明 \(u\) 和 \(v\) 点在同一棵子树中，并且这个子树是所有包括了 \(u\) 点和 \(v\) 点的子树中 siz 最小的，这棵子树的根也是在所有符合条件的子树的根中离 \(u\) 和 \(v\) 最近的，即这棵子树的根就是 \(u\) 和 \(v\) 的最近公共祖先，而 \(v\) 的并查集祖先就是这个根节点。

代码

结构体记录询问

int cnt = 1;

struct query {
	int v, lca, nxt;
} q[N << 1];

记录询问、初始化

for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {
	scanf("%d%d", &x, &y);
	add_query(x, y);
	add_query(y, x);
}
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	fa[i] = i;
}

tarjan、并查集

void tarjan(int u) {
	fa[u] = u;
	vis[u] = 1;
	for (int v : son[u]) {
		if (!vis[v]) {
			tarjan(v);
			fa[v] = u;
		}
	}
	int v;
	for (int i = h[u]; i; i = q[i].nxt) {
		if (vis[v = q[i].v]) {
			q[i].lca = q[i ^ 1].lca = find(v);
		}
	}
}

fa[u] = u; 是为了保证在 \(u\) 这棵子树没有搜完的情况下，让它子树里的节点的并查集找祖先时找到的是它。