【二维偏序】【树状数组】【权值分块】【分块】poj2352 Stars

经典问题：二维偏序。给定平面中的n个点，求每个点左下方的点的个数。

因为 所有点已经以y为第一关键字，x为第二关键字排好序，所以我们按读入顺序处理，仅仅需要计算x坐标小于<=某个点的点有多少个就行。

这就是所说的：n维偏序，一维排序，二维树状数组，三维 分治 Or 树状数组套平衡树……

<法一>树状数组。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 struct POINT
 {
     int x,y;
 };
 int n,d[],ji[],m;
 POINT star[];
 bool cmp(const POINT &a,const POINT &b)
 {
     if(a.x<b.x)
       return true;
     else if(a.x>b.x)
       return false;
     else if(a.y<b.y)
       return true;
     return false;
 }
 int lowbit(int x)
 {
     return x&(-x);
 }
 void update(int x,int delta)
 {
     for(;x<=m;x+=lowbit(x))
       d[x]+=delta;
 }
 int getsum(int x)
 {
     int res=;
     for(;x>;x-=lowbit(x))
       res+=d[x];
     return res;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
       {
           scanf("%d%d",&star[i].x,&star[i].y);
           star[i].y++;
           m=max(m,star[i].y);
       }
     for(int i=;i<=n;i++)
       {
           update(star[i].y,);
           ji[getsum(star[i].y)-]++;
       }
     for(int i=;i<n;i++)
       printf("%d\n",ji[i]);
     return ;
 }

<法二>权值分块。我会说比树状数组还快将近一倍？

 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int n,x[],y[],LIMIT,r[],l[],num[],sumv[],sz,sum,rank[],b[];
 void makeblock()
 {
     sz=(int)sqrt((double)LIMIT); if(!sz) sz=; r[]=-;
     for(sum=;sum*sz<LIMIT;sum++)
       {
           l[sum]=r[sum-]+;
           r[sum]=sum*sz;
           for(int i=l[sum];i<=r[sum];i++) num[i]=sum;
       }
     l[sum]=r[sum-]+;
     r[sum]=LIMIT;
     for(int i=l[sum];i<=r[sum];i++) num[i]=sum;
 }
 int query(const int &V)
 {
     int cnt=;
     for(int i=;i<num[V];i++) cnt+=sumv[i];
     for(int i=l[num[V]];i<=V;i++) cnt+=b[i];
     ++b[V]; ++sumv[num[V]];
     return cnt;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
       {
           scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
           LIMIT=max(LIMIT,x[i]);
       } makeblock();
     for(int i=;i<=n;i++) ++rank[query(x[i])];
     for(int i=;i<n;i++) printf("%d\n",rank[i]);
     return ;
 }

<法三>再介绍一种方便扩展到三维的方法。我们不用按x或者y单调插入。

我们发现，二维偏序实际上是二维树状数组的经典操作。

但是二维BIT的空间复杂度无法接受。

但是我们发现，将一维离散化之后，使其按权值单调，树状数组套平衡树 可以轻松查询 x、y同时小于等于一个点的点的个数。 空间复杂度O(n*log(n)) 时间复杂度O(n*log^2(n))。

然后我们又发现，这同样也是分块的经典操作。 空间复杂度O(n) 时间复杂度O(n*sqrt(n*log(n)))。 注意分块的时候，我们为了保证块的形态，要先按一维sort，然后每sqrt(n*log(n))个点分成一块，不能按权值分块。

分块姿势①

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 vector<int>b[];
 struct Point{int x,y,num;}p[];
 vector<Point>a[];
 int n,R,L,sum,l[],r[],sz,rank[];
 void makeblock()
 {
     sz=(int)sqrt((double)n*(log((double)n)/log(2.0))); if(!sz) sz=;
     for(sum=;sum*sz<n;sum++)
       {
           int R=sum*sz;
           for(int i=(sum-)*sz+;i<=R;i++) p[i].num=sum;
       }
     for(int i=(sum-)*sz+;i<=n;i++) p[i].num=sum;
 }
 void update(const Point &U)
 {
     b[U.num].insert(upper_bound(b[U.num].begin(),b[U.num].end(),U.x),U.x);
     a[U.num].push_back(U);
 }
 int query(const Point &U)
 {
     int cnt=;
     for(int i=;i<U.num;++i) cnt+=upper_bound(b[i].begin(),b[i].end(),U.x)-b[i].begin();
     for(vector<Point>::iterator it=a[U.num].begin();it!=a[U.num].end();++it)
       if((*it).x<=U.x&&(*it).y<=U.y) ++cnt;
     return cnt;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
     makeblock();
     for(int i=;i<=n;i++) update(p[i]);
     for(int i=;i<=n;i++) ++rank[query(p[i])-];
     for(int i=;i<n;i++) printf("%d\n",rank[i]);
     return ;
 }

分块姿势②

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 vector<int>b[];
 struct Point{int x,y,num;}p[];
 vector<Point>a[];
 int n,R,L,l[],r[],rank[];
 void makeblock()
 {
     int sum,sz=(int)sqrt((double)n*(log((double)n)/log(2.0))); if(!sz) sz=;
     for(sum=;sum*sz<n;sum++)
       {
           int R=sum*sz;
           for(int i=(sum-)*sz+;i<=R;i++)
           {
               p[i].num=sum;
               b[sum].push_back(p[i].x);
               a[sum].push_back(p[i]);
           }
         sort(b[sum].begin(),b[sum].end());
       }
     for(int i=(sum-)*sz+;i<=n;i++)
       {
           p[i].num=sum;
         b[sum].push_back(p[i].x);
         a[sum].push_back(p[i]);
       }
     sort(b[sum].begin(),b[sum].end());
 }
 int query(const Point &U)
 {
     int cnt=;
     for(int i=;i<U.num;++i) cnt+=upper_bound(b[i].begin(),b[i].end(),U.x)-b[i].begin();
     for(vector<Point>::iterator it=a[U.num].begin();it!=a[U.num].end();++it)
       if((*it).x<=U.x&&(*it).y<=U.y) ++cnt;
     return cnt;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
     makeblock();
     for(int i=;i<=n;i++) ++rank[query(p[i])-];
     for(int i=;i<n;i++) printf("%d\n",rank[i]);
     return ;
 }