bzoj 3643Phi的反函数

3643: Phi的反函数

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　　这道题我只能说是一道披着搜索外衣的数学题，核心都在数学知识上，于是数学能力令人发指的我跪了……

　　在讲这道题之前我们先明确一下几点：

　　　　1.一个数x的质因子若大于sqrt(x)则这个质因子最多只有一个。

　　　　2.我们设p_k为已知数x的第k个素因子a_k为该素因子在x的素因子中有几个则φ(x)=p1^(a1-1)*(p1-1)*p2^(a2-1)*(p2-1)……

　　　　3.由1可知我们线筛只用筛到sqrt(INF)，大于它直接暴力检测。

　　　　4.由2可知如果对于一个素数p，p-1是n的因子，则p可对答案产生贡献。

　　于是知道了以上几点我们就好说多了，我们只要枚举每一个素数p，如果p-1是当前now的因子就接下去dfs并枚举a，对于那个大于sqrt(n)的因子我们直接判断如果now+1是素数且now+1>sqrt(n)，我们就检查他是否对答案有贡献。

　　不知道有没有人和我和Q某犇一样对于是now+1还是now还是now-1有疑问。为了周全，我还是说一下。如果当前now满足以上条件那么此时now=p^(a-1)*(p-1)，由于p大于sqrt(n)，a一定为1，所以就变成了now=p-1，那么p=now+1。

　　差点忘说了，我们为什么会去选择dfs这种方式呢？因为貌似可以证明，在题目给的数据最多只有10个（不同的）素因子，一个素因子最多只出现30次，所以dfs没跑。

 #include<iostream>
 #include<cstdlib>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #define N 50005
 using namespace std;
 long long sq,n,ss[N],zz,ans=;
 bool fss[N];
 bool pri(long long x)
 {
     for(int i=;i<=sqrt(x);i++)
         if(x%i==)return ;
     return ;
 }
 void dfs(long long sum,long long wz,long long now)
 {
     if(sum>ans)return;
     if(now==)
     {
         ans=min(ans,sum);
         return;
     }
     if(now>sq&&pri(now+))ans=min(ans,(now+)*sum);
     for(int i=wz;i<=zz&&ss[i]-<=sq&&ss[i]-<=now;i++)
     {
         if(now%(ss[i]-)==)
         {
             int x=now/(ss[i]-),y=sum*ss[i];
             dfs(y,i+,x);
             while(x%ss[i]==)
             {
                 x/=ss[i],y*=ss[i];
                 dfs(y,i+,x);
             }
         }
     }
 }
 int main()
 {
     scanf("%lld",&n);
     sq=sqrt(n);
     for(int i=;i<=sqrt(n);i++)
     {
         if(!fss[i])
         {
             zz++;
             ss[zz]=i;
         }
         for(int j=;j<=zz&&i*ss[j]<N;j++)
         {
             fss[i*ss[j]]=;
             if(i%ss[j]==)break;
         }
     }
     dfs(,,n);
     if(ans<2147483648ll)
         printf("%lld\n",ans);
     else printf("-1\n");
     return ;
 }