略学扩展Eculid算法

扩展 Euclid 算法

Euclid 算法

• 辗转相除法

• 计算两个数最大公因数

• \(\text{gcd}(a,\,b) = \text{gcd}(b,\,a\%b)\)

exEuclid 算法

• 裴蜀定理：\(\forall a,\,b,\,\,\exists x,\,y, \,\,s.t. \,\,ax+by=\gcd(a,b)\)
• 利用扩展Euclid 算法可以算出\(x\) 和\(y\)
• \(b=0\) 的，公因数就是\(a\)
• \(b\not= 0\) 时，根据Euclid 算法，有\(\text{gcd}(a,\,b) = \text{gcd}(b,\,a\%b)\)
• 利用裴蜀定理：\(ax+by=bx'+(a\%b)y'\)
• 而\(a\%b=a-b\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\)
• 也就是说：\(ax+by=bx'+(a-b\lfloor\frac{a}{b}\rfloor)y'\)
• 整理一下：ax+by=ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')​
• 由以上就可以得到\(x=y'\) ，\(y=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y'\)
• 那么就可以写个递归啦！

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }else{
        int d = exgcd(b, a % b, x, y);
        int tmp = x;
        x = y;
        y = tmp - a / b * y;
        return d;
    }
}