P2042 [NOI2005]维护数列 && Splay区间操作（四）

到这里 \(A\) 了这题， \(Splay\) 就能算入好门了吧。

今天是个特殊的日子， \(NOI\) 出成绩， 大佬 \(Cu\)

不敢相信这一切这么快， 一下子机房就只剩我和 \(zrs\) 了。

忽然回想起之前大佬的一幕幕， 有一丝惆怅

真的不知道该怎么安慰dalao。。。

不过上天不会忽视那些默默努力的人的对吧

不想被说做作， 但是如果dalao能看到这篇博客的话，

大佬， 高考加油啊

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为什么在这里写这些呢？ \(Splay\) 其实是大佬领进门的， 学习的也是大佬的板子， 大佬很久以前的Q名还是 \(Splay\) 加上一颗椰子树。。放心吧大佬， 我会继续努力的

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P2042 [NOI2005]维护数列

题目描述

请写一个程序，要求维护一个数列，支持以下 6 种操作：（请注意，格式栏 中的下划线‘ _ ’表示实际输入文件中的空格）

输入输出格式

输入格式：

输入文件的第 1 行包含两个数 N 和 M，N 表示初始时数列中数的个数，M 表示要进行的操作数目。 第 2 行包含 N 个数字，描述初始时的数列。 以下 M 行，每行一条命令，格式参见问题描述中的表格

输出格式：

对于输入数据中的 GET-SUM 和 MAX-SUM 操作，向输出文件依次打印结 果，每个答案（数字）占一行。

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\(Splay\) 的挺全面的基本操作： 插入、 删除、 修改、 翻转、 求和、 求最大子列

因为插入的数可能会很多， 题目又保证在任意时刻序列内元素的数量 \(<= 500 000\) 所以隐藏一个要求： 让我们回收节点编号

自然地， 有插入操作， 所以我们记得加入哨兵节点

\(Ins\) 插入

这里和原来的插入不同， 是一次插入一段序列， 容易想到现在主树外新建一棵树， 用树根代表整个序列， 像原来一样插入即可。

但是值得注意的是， 若是用原来单个元素插入的方法建树的话， 每次插入的复杂度可以达到 \(O(n\log n)\) ，加上 \(Splay\) 算法本来就常数较大， 承受不起这样的方法， 于是我们引入一种类似线段树建树的递归建树。 和线段树有所不同的是，每个点代表自己本身的属性和子区间的属性， 所以建完的 \(Splay\) 树的大小为 \(N\) ， 复杂度是线性的。

注意引用以保证节点编号的正确传递

最后将主树的 \(x, x + 1\) 分别 \(Splay\) 到根和根的右子节点， 右子节点的左子节点就是插入的位置， 把新树的根接上去即可

int ori[maxn];
void build(int &id, int F, int l, int r){//注意引用
	if(l > r)return ;//因为下面的-1和+1，可能会出现区间错位的情况
	int mid = (l + r) >> 1;
	id = New(F, ori[mid]);
	if(l == r)return ;
	build(ch[id][0], id, l, mid - 1);//注意这里和线段树不一样，子区间是没有mid的
	build(ch[id][1], id, mid + 1, r);
	pushup(id);
	}
void Ins(){
	int x = RD(), tot = RD();
	for(int i = 1;i <= tot;i++)ori[i] = RD();
	int rt;build(rt, 0, 1, tot);
	x = find(root, x + 1);//注意哨兵节点的加一
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + 2);
	splay(x, root, root);
	ch[ch[root][1]][0] = rt;
	fa[rt] = ch[root][1];
	pushup(ch[root][1]), pushup(root);
	}

\(Del\ \& \ New\)

删除及节点回收

同样和之前的单个删除不一样， 这是删除一段区间 \([L, R]\)。 容易想到我们应该将 \(L - 1, R + 1\)分别 \(Splay\) 到根和右子节点， 右子节点的左子树即为操作树

直接删除很简单， 只需要将根的右子节点的左子节点设为 \(0\) 即可， 但是这题要求我们空间回收， 所以我们用 \(dfs\) 遍历摘下来的子树上的节点， 将节点加入一个队列中即可， 下次新建节点可以直接在此队列中取出编号重新使用

对于新建节点的 \(New\) 函数， 因为这个点之前可能被使用过， 所谓我们需要将其所有属性全部初始化， 再使用

int root, tot;
queue<int>Q;
int New(int F, int v){//包办一切编号重启，方便得一批
	int now;
	if(Q.empty())now = ++tot;
	else now = Q.front(), Q.pop();
	fa[now] = F; ch[now][0] = ch[now][1] = 0;
	val[now] = v;
	size[now] = 1; lazy[now] = -INF;rev[now] = 0;
	sum[now] = maxx[now] = v;
	lmax[now] = rmax[now] = max(0, v);
	return now;
	}
void dfs_del(int id){//深搜回收编号
	Q.push(id);
	if(ch[id][0])dfs_del(ch[id][0]);
	if(ch[id][1])dfs_del(ch[id][1]);
	}
void Del(){
	int x = RD(), tot = RD();
	x = find(root, x);//哨兵节点 + 1 - 1
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + tot + 2);
	splay(x, root, root);
	int del = ch[ch[root][1]][0];
	dfs_del(del);
	ch[ch[root][1]][0] = 0;
	pushup(ch[root][1]), pushup(root);
	}

\(Change\ \&\ Reverse\)

区间修改及区间翻转

和 \(Splay\) 模板题的翻转差不多， 都是套路， 将 \(L - 1, R + 1\) \(Splay\) 到根和根的右子节点， 根的右子节点的左子树即为修改区间， 打个懒标记。 注意这里的懒标记是给儿子使用的。还有就是修改与翻转的优先级的关系： 只要全部染色了翻不翻转都无所谓， 故修改懒标记的优先级修改染色 \(>\) 翻转，所以我们可以在下推染色标记时将翻转懒标记清空； 同理在翻转时， 当此区间有染色标记的时候， 我们也不需要翻转了

注意后面需要维护区间最大子段和， 需要维护一个区间的 取左端最大值 、取右端最大值 、 本区间子段最大值（参见小白逛公园）， 从而更新。

所以我们区间翻转注意要先交换子区间的取左右端最大值， 再交换两个区间

void pushup(int id){
	int lid = ch[id][0], rid = ch[id][1];
	size[id] = size[lid] + size[rid] + 1;
	sum[id] = sum[lid] + sum[rid] + val[id];
	lmax[id] = max(lmax[lid], sum[lid] + val[id] + lmax[rid]);
	rmax[id] = max(rmax[rid], sum[rid] + val[id] + rmax[lid]);
	int MAX = max(maxx[lid], maxx[rid]);
	maxx[id] = max(MAX, rmax[lid] + val[id] + lmax[rid]);
	}
void pushdown(int id){//像线段树一样标记给儿子用
	int lid = ch[id][0], rid = ch[id][1];
	if(lazy[id] != -INF){
		val[lid] = val[rid] = lazy[id];
		lazy[lid] = lazy[rid] = lazy[id];
		sum[lid] = size[lid] * lazy[id];
		sum[rid] = size[rid] * lazy[id];
		if(lazy[id] >= 0){
			maxx[lid] = lmax[lid] = rmax[lid] = sum[lid];
			maxx[rid] = lmax[rid] = rmax[rid] = sum[rid];
			}
		else{
			lmax[lid] = rmax[lid] = 0, maxx[lid] = lazy[id];
			lmax[rid] = rmax[rid] = 0; maxx[rid] = lazy[id];
			}
		lazy[id] = -INF; rev[id] = 0;
		}
	if(rev[id]){
		rev[id] = 0;rev[lid] ^= 1, rev[rid] ^= 1;
		swap(lmax[lid], rmax[lid]), swap(lmax[rid], rmax[rid]);
		swap(ch[lid][0], ch[lid][1]);
		swap(ch[rid][0], ch[rid][1]);
		}
	}
void Change(){
	int x = RD(), tot = RD(), c = RD();
	x = find(root, x);
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + tot + 2);
	splay(x, root, root);
	int change = ch[ch[root][1]][0];
	val[change] = lazy[change] = c;
	sum[change] = c * size[change];
	if(c >= 0)maxx[change] = lmax[change] = rmax[change] = sum[change];
	else maxx[change] = c, lmax[change] = rmax[change] = 0;
	pushup(ch[root][1]), pushup(root);
	}
void Reverse(){
	int x = RD(), tot = RD();
	x = find(root, x);
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + tot + 2);
	splay(x, root, root);
	int change = ch[ch[root][1]][0];
	if(lazy[change] == -INF){
		rev[change] ^= 1;
		swap(lmax[change], rmax[change]);
		swap(ch[change][0], ch[change][1]);
		pushup(ch[root][1]), pushup(root);
		}
	}

\(Sum\ \&\ MSum\)

区间求和及最大子段和

\(Sum\) 都是套路， 不再赘述， \(MSum\) 更简单， 只要你前面维护得正确， 输出根的最大子段和的值即可

void Sum(){
	int x = RD(), tot = RD();
	x = find(root, x);
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + tot + 2);
	splay(x, root, root);
	printf("%d\n", sum[ch[ch[root][1]][0]]);
	}
void MSum(){
	printf("%d\n", maxx[root]);
	}

---

至此， \(Splay\) 的大部分区间操作都已经被提到和总结了。谢谢大佬，谢谢

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
int RD(){
	int flag = 1, out = 0;char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
	return flag * out;
	}
const int maxn = 1000019, INF = 1e9 + 19;
int num, na;
//splay, 需支持插入删除修改翻转求和最大子列
int ch[maxn][2], fa[maxn];
int val[maxn];
int size[maxn], lazy[maxn], rev[maxn];
int sum[maxn], maxx[maxn], lmax[maxn], rmax[maxn];
int root, tot;
queue<int>Q;
int New(int F, int v){//包办一切编号重启，方便得一批
	int now;
	if(Q.empty())now = ++tot;
	else now = Q.front(), Q.pop();
	fa[now] = F; ch[now][0] = ch[now][1] = 0;
	val[now] = v;
	size[now] = 1; lazy[now] = -INF;rev[now] = 0;
	sum[now] = maxx[now] = v;
	lmax[now] = rmax[now] = max(0, v);
	return now;
	}
void pushup(int id){
	int lid = ch[id][0], rid = ch[id][1];
	size[id] = size[lid] + size[rid] + 1;
	sum[id] = sum[lid] + sum[rid] + val[id];
	lmax[id] = max(lmax[lid], sum[lid] + val[id] + lmax[rid]);
	rmax[id] = max(rmax[rid], sum[rid] + val[id] + rmax[lid]);
	int MAX = max(maxx[lid], maxx[rid]);
	maxx[id] = max(MAX, rmax[lid] + val[id] + lmax[rid]);
	}
void pushdown(int id){//像线段树一样标记给儿子用
	int lid = ch[id][0], rid = ch[id][1];
	if(lazy[id] != -INF){
		val[lid] = val[rid] = lazy[id];
		lazy[lid] = lazy[rid] = lazy[id];
		sum[lid] = size[lid] * lazy[id];
		sum[rid] = size[rid] * lazy[id];
		if(lazy[id] >= 0){
			maxx[lid] = lmax[lid] = rmax[lid] = sum[lid];
			maxx[rid] = lmax[rid] = rmax[rid] = sum[rid];
			}
		else{
			lmax[lid] = rmax[lid] = 0, maxx[lid] = lazy[id];
			lmax[rid] = rmax[rid] = 0; maxx[rid] = lazy[id];
			}
		lazy[id] = -INF; rev[id] = 0;
		}
	if(rev[id]){
		rev[id] = 0;rev[lid] ^= 1, rev[rid] ^= 1;
		swap(lmax[lid], rmax[lid]), swap(lmax[rid], rmax[rid]);
		swap(ch[lid][0], ch[lid][1]);
		swap(ch[rid][0], ch[rid][1]);
		}
	}
bool lor(int id){return ch[fa[id]][0] == id ? 0 : 1;}
void spin(int id){
	int F = fa[id], d = lor(id);
	fa[id] = fa[F];
	if(fa[F])ch[fa[F]][lor(F)] = id;
	fa[F] = id;
	ch[F][d] = ch[id][d ^ 1];
	if(ch[id][d ^ 1])fa[ch[id][d ^ 1]] = F;
	ch[id][d ^ 1] = F;
	pushup(F), pushup(id);
	}
void splay(int id, int goal, int &rt){//rt为splay的主根
	while(fa[id] != goal){
		int F = fa[id];
		pushdown(fa[F]), pushdown(F), pushup(id);
		if(fa[F] == goal)spin(id);
		else if(lor(id) ^ lor(F))spin(id), spin(id);
		else spin(F), spin(id);
		}
	if(!goal)rt = id;
	}
int find(int id, int rank){
	pushdown(id);
	if(!id)return INF;
	if(size[ch[id][0]] >= rank)return find(ch[id][0], rank);
	else if(size[ch[id][0]] + 1 == rank)return id;
	else return find(ch[id][1], rank - size[ch[id][0]] - 1);
	}
void insert(int id, int v, int &rt){
	ch[id][1] = New(id, v);
	splay(ch[id][1], 0, rt);
	}
int ori[maxn];
void build(int &id, int F, int l, int r){//注意引用
	if(l > r)return ;//因为下面的-1和+1，可能会出现区间错位的情况
	int mid = (l + r) >> 1;
	id = New(F, ori[mid]);
	if(l == r)return ;
	build(ch[id][0], id, l, mid - 1);//注意这里和线段树不一样，子区间是没有mid的
	build(ch[id][1], id, mid + 1, r);
	pushup(id);
	}
void Ins(){
	int x = RD(), tot = RD();
	for(int i = 1;i <= tot;i++)ori[i] = RD();
	int rt;build(rt, 0, 1, tot);
	x = find(root, x + 1);//注意哨兵节点的加一
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + 2);
	splay(x, root, root);
	ch[ch[root][1]][0] = rt;
	fa[rt] = ch[root][1];
	pushup(ch[root][1]), pushup(root);
	}
void dfs_del(int id){//深搜回收编号
	Q.push(id);
	if(ch[id][0])dfs_del(ch[id][0]);
	if(ch[id][1])dfs_del(ch[id][1]);
	}
void Del(){
	int x = RD(), tot = RD();
	x = find(root, x);//哨兵节点 + 1 - 1
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + tot + 2);
	splay(x, root, root);
	int del = ch[ch[root][1]][0];
	dfs_del(del);
	ch[ch[root][1]][0] = 0;
	pushup(ch[root][1]), pushup(root);
	}
void Change(){
	int x = RD(), tot = RD(), c = RD();
	x = find(root, x);
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + tot + 2);
	splay(x, root, root);
	int change = ch[ch[root][1]][0];
	val[change] = lazy[change] = c;
	sum[change] = c * size[change];
	if(c >= 0)maxx[change] = lmax[change] = rmax[change] = sum[change];
	else maxx[change] = c, lmax[change] = rmax[change] = 0;
	pushup(ch[root][1]), pushup(root);
	}
void Reverse(){
	int x = RD(), tot = RD();
	x = find(root, x);
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + tot + 2);
	splay(x, root, root);
	int change = ch[ch[root][1]][0];
	if(lazy[change] == -INF){
		rev[change] ^= 1;
		swap(lmax[change], rmax[change]);
		swap(ch[change][0], ch[change][1]);
		pushup(ch[root][1]), pushup(root);
		}
	}
void Sum(){
	int x = RD(), tot = RD();
	x = find(root, x);
	splay(x, 0, root);
	x = find(root, size[ch[root][0]] + tot + 2);
	splay(x, root, root);
	printf("%d\n", sum[ch[ch[root][1]][0]]);
	}
void MSum(){
	printf("%d\n", maxx[root]);
	}
int main(){
	num = RD(), na = RD();
	root = New(0, -INF);
	for(int i = 1;i <= num;i++)insert(root, RD(), root);
	insert(root, -INF, root);//初始化
	char cmd[19];
	for(int i = 1;i <= na;i++){
		cin>>cmd;
		if(cmd[2] == 'S')Ins();
		else if(cmd[2] == 'L')Del();
		else if(cmd[2] == 'K')Change();
		else if(cmd[2] == 'V')Reverse();
		else if(cmd[2] == 'T')Sum();
		else MSum();
		}
	return 0;
	}