【1】【leetcode-115 动态规划】 不同的子序列

给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。

一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）

示例 1:

输入: S = "rabbbit", T = "rabbit"
输出: 3
解释:

如下图所示, 有 3 种可以从 S 中得到 "rabbit" 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

rabbbit
^^^^ ^^
rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^

示例 2:

输入: S = "babgbag", T = "bag"
输出: 5
解释:

如下图所示, 有 5 种可以从 S 中得到 "bag" 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

babgbag
^^ ^
babgbag
^^    ^
babgbag
^    ^^
babgbag
  ^  ^^
babgbag
    ^^^

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/ed2923e49d3d495f8321aa46ade9f873
来源：牛客网

我们需要一个二维数组dp(i)(j)来记录长度为i的字串在长度为j的母串中出现的次数，这里长度都是从头算起的，而且遍历时，保持子串长度相同，先递增母串长度，母串最长时再增加一点子串长度重头开始计算母串。

首先我们先要初始化矩阵，当子串长度为0时，所有次数都是1，当母串长度为0时，所有次数都是0.当母串子串都是0长度时，次数是1（因为都是空，相等）。接着，如果子串的最后一个字母和母串的最后一个字母不同，说明新加的母串字母没有产生新的可能性，可以沿用该子串在较短母串的出现次数，所以dp(i)(j) = dp(i)(j-1)。如果子串的最后一个字母和母串的最后一个字母相同，说明新加的母串字母带来了新的可能性，我们不仅算上dp(i)(j-1)，也要算上新的可能性。那么如何计算新的可能性呢，其实就是在既没有最后这个母串字母也没有最后这个子串字母时，子串出现的次数，我们相当于为所有这些可能性都添加一个新的可能。所以，这时dp(i)(j) = dp(i)(j-1) + dp(i-1)(j-1)。下图是以rabbbit和rabbit为例的矩阵示意图。计算元素值时，当末尾字母一样，实际上是左方数字加左上方数字，当不一样时，就是左方的数字。

示意图

 

动归思想。加上一个新字母后，匹配的组数应该等于s、t都去掉该新字母成功匹配数 + s不加新字母时已经成功的组数

我的：

    public int numDistinct(String s, String t) {
        if (s == null || t == null || s.length()==0 || t.length() ==0) {
            return 0;
        }

        int[][] dp = new int[t.length()+1][s.length()+1];
        //初始化矩阵，当子串长度为0时，所有次数都是1，当母串长度为0时，所有次数都是0.空串""也是子串
        for (int i=0;i<t.length();i++) {
            dp[i][0] = 0;
        }
        for (int i=0;i<s.length();i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        for (int i=1;i<=t.length();i++) {
            for (int j=1;j<=s.length();j++) {
                if (s.charAt(j-1) != t.charAt(i-1))
                    dp[i][j] = dp[i][j-1];
                else
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[t.length()][s.length()];
    }