《sicp》八皇后谜题

书中练习2.42.八皇后谜题问的是如何将八个皇后摆在国际象棋棋盘上,使得任意一个皇后都不能攻击另一个皇后(也就是说任意两个皇后都不能在同一行,同一列和同一对角线上).

解题思想

递归加模块化设计程序

递归:解决这一谜题,可以使用递归的方法,每次在一列中放置一个皇后.

1.已经放置好了前k-1列的所有皇后.
2.第k列处理方法:
- 1.将第k列的每一行都放置一个皇后.
- 2.将第k列不满足条件的皇后过滤掉.

数据结构

每一个具体的解法用列表表示.列表的第一个元素表示第 8 列的皇后所在的行，而列表的第二个元素表示第 7 列的皇后所在的行，以此类推。

例如

可以表示为 (list 6 3 1 7 5 8 2 4) 。

所有解法综合起来采用二维列表表示.(list (list 6 3 1 7 5 8 2 4) (list ...) (list ...) ...).

列表内的每一个列表都代表一个具体的解法.

scheme程序

程序框架

(define (queens board-size)

  (define (queen-cols k)

	(if (= k 0)

	   (list empty-board)

	   (filter

		  (lambda (positions)  (safe? k positions))

		  (flatmap

		    (lambda (rest-of-queens)

			  (map (lambda (new-row)

					  (adjoin-position new-row k rest-of-queens))

			        (enumerate-interval 1 board-size)))

            (queen-cols (- k 1))))))

   (queen-cols board-size))

其中:

queen-cols返回在棋盘前k列放置皇后的所有格局的序列

filter是过滤掉不符合条件的解法

flatmap是在前k-1列已放好的格局中,将第k列的每一个行中放入一个皇后

rest-of-queens是在前k-1列放置k-1个皇后的一种方式

过滤方式

前k-1列已经放置好,所以只需检验第k行是否满足.

从第k-1行开始,一行一行的检验三个条件,假设第i列的皇后放置位置为(i,y1),第k列的皇后放置为(k,y2)

1.不在同一列,这个肯定满足,无需检验

2.不在同一行,取出当前列的放置行数和第k列的放置行数相比,看是否相等,即y1 =? y2

3.不在同一对角线上,分为两种情况,1:对角线斜率为1,做出过(i,y1)的斜率为1的直线,看与直线x=k,交点是否为(k,y2),如是,则不满足条件,2:斜率为-1,同上

总程序

(define (filter predicate sequence)

    (cond ((null? sequence) '())

	      ((predicate (car sequence)) (cons (car sequence) (filter predicate (cdr sequence))))

		  (else (filter predicate (cdr sequence)))))

(define ( accumulate op initial sequence)

 (if (null? sequence)

     initial

	 (op (car sequence)  (accumulate op initial (cdr sequence)))))

(define (flatmap proc seq)

   (accumulate append '() (map proc seq)))

(define (enumerate-interval low high)

  (if (> low high)

      '()

	  (cons low (enumerate-interval (+ low 1) high))))

(define empty-board '())

(define (safe? k positions)

   (define (noconflict? pk x list)

	(cond ((= x 0 ) #t)

	      ((or (= pk (car list))  (= pk ( + k (- (car list) x)))   (= pk ( - ( + (car list) x)  k )))   #f)

		  (else (noconflict? pk (- x 1) (cdr list)))))

   (noconflict? (car positions) (- k 1) (cdr positions)))

(define (adjoin-position new-row k rest-of-queens)

    (cons new-row rest-of-queens))

(define (queens board-size)

  (define (queen-cols k)

	(if (= k 0)

	   (list empty-board)

	   (filter

		  (lambda (positions)  (safe? k positions))

		  (flatmap

		    (lambda (rest-of-queens)

			  (map (lambda (new-row)

					  (adjoin-position new-row k rest-of-queens))

			        (enumerate-interval 1 board-size)))

            (queen-cols (- k 1))))))

   (queen-cols board-size))

结果

1 ]=> (for-each (lambda (pos)

                    (begin

                        (display pos)

                        (newline)))

                (queens 8))

(4 2 7 3 6 8 5 1)

(5 2 4 7 3 8 6 1)

(3 5 2 8 6 4 7 1)

(3 6 4 2 8 5 7 1)

(5 7 1 3 8 6 4 2)

(4 6 8 3 1 7 5 2)

(3 6 8 1 4 7 5 2)

(5 3 8 4 7 1 6 2)

(5 7 4 1 3 8 6 2)

(4 1 5 8 6 3 7 2)

(3 6 4 1 8 5 7 2)

(4 7 5 3 1 6 8 2)

(6 4 2 8 5 7 1 3)

(6 4 7 1 8 2 5 3)

(1 7 4 6 8 2 5 3)

(6 8 2 4 1 7 5 3)

(6 2 7 1 4 8 5 3)

(4 7 1 8 5 2 6 3)

(5 8 4 1 7 2 6 3)

(4 8 1 5 7 2 6 3)

(2 7 5 8 1 4 6 3)

(1 7 5 8 2 4 6 3)

(2 5 7 4 1 8 6 3)

(4 2 7 5 1 8 6 3)

(5 7 1 4 2 8 6 3)

(6 4 1 5 8 2 7 3)

(5 1 4 6 8 2 7 3)

(5 2 6 1 7 4 8 3)

(6 3 7 2 8 5 1 4)

(2 7 3 6 8 5 1 4)

(7 3 1 6 8 5 2 4)

(5 1 8 6 3 7 2 4)

(1 5 8 6 3 7 2 4)

(3 6 8 1 5 7 2 4)

(6 3 1 7 5 8 2 4)

(7 5 3 1 6 8 2 4)

(7 3 8 2 5 1 6 4)

(5 3 1 7 2 8 6 4)

(2 5 7 1 3 8 6 4)

(3 6 2 5 8 1 7 4)

(6 1 5 2 8 3 7 4)

(8 3 1 6 2 5 7 4)

(2 8 6 1 3 5 7 4)

(5 7 2 6 3 1 8 4)

(3 6 2 7 5 1 8 4)

(6 2 7 1 3 5 8 4)

(3 7 2 8 6 4 1 5)

(6 3 7 2 4 8 1 5)

(4 2 7 3 6 8 1 5)

(7 1 3 8 6 4 2 5)

(1 6 8 3 7 4 2 5)

(3 8 4 7 1 6 2 5)

(6 3 7 4 1 8 2 5)

(7 4 2 8 6 1 3 5)

(4 6 8 2 7 1 3 5)

(2 6 1 7 4 8 3 5)

(2 4 6 8 3 1 7 5)

(3 6 8 2 4 1 7 5)

(6 3 1 8 4 2 7 5)

(8 4 1 3 6 2 7 5)

(4 8 1 3 6 2 7 5)

(2 6 8 3 1 4 7 5)

(7 2 6 3 1 4 8 5)

(3 6 2 7 1 4 8 5)

(4 7 3 8 2 5 1 6)

(4 8 5 3 1 7 2 6)

(3 5 8 4 1 7 2 6)

(4 2 8 5 7 1 3 6)

(5 7 2 4 8 1 3 6)

(7 4 2 5 8 1 3 6)

(8 2 4 1 7 5 3 6)

(7 2 4 1 8 5 3 6)

(5 1 8 4 2 7 3 6)

(4 1 5 8 2 7 3 6)

(5 2 8 1 4 7 3 6)

(3 7 2 8 5 1 4 6)

(3 1 7 5 8 2 4 6)

(8 2 5 3 1 7 4 6)

(3 5 2 8 1 7 4 6)

(3 5 7 1 4 2 8 6)

(5 2 4 6 8 3 1 7)

(6 3 5 8 1 4 2 7)

(5 8 4 1 3 6 2 7)

(4 2 5 8 6 1 3 7)

(4 6 1 5 2 8 3 7)

(6 3 1 8 5 2 4 7)

(5 3 1 6 8 2 4 7)

(4 2 8 6 1 3 5 7)

(6 3 5 7 1 4 2 8)

(6 4 7 1 3 5 2 8)

(4 7 5 2 6 1 3 8)

(5 7 2 6 3 1 4 8)