P4425 【[HNOI/AHOI2018]转盘】

颂魔眼中的一眼题我大湖南竟无一人\(AC\)

首先我们考虑一个性质：我们肯定存在一种最优解，满足从某个点出发，一直往前走，不停下来。

证明：我们假设存在一种最优解，是在\(t_i\)的时候到达\(a\)点，那么我肯定会在\(t_i - x(x≥1)\)的时间会到达\(a - 1\)号点

我们假设\(x != 1\)，即我们会在\(a-1\)点进行停留，此时那么我们到达\(a - 2\)号点的时间\(<t_i - 2\)，到达\(a-3\)号点的时间\(<t_i - 3\)

那么如果我有一个点\(a - y\)是在\(t_i - y\)时刻出现，那么我们不能取到这个点，必须要重新转一圈

那么如果\(x = 1\)，且每一次走都没停下来，我们可以保证我们在\(x!=1\)经过该点后经过该点

所以说如果\(x!=1\)可以经过的所有点我们肯定在\(x==1\)的情况下都能经过，而且\(x==1\)情况下的一些点，\(x != 1\)不一定能经过，所以我们肯定每一次取\(x==1\)是一种最优情况

然后我们考虑进一步转化题意：假设我在一个点，从\(T_i\)时刻出发，满足转一圈刚好标记所有点，那么我们\(T_i\)以前的时间实际上是没有用的

由于环不好处理，而且转化后我们保证只要走一圈，所以我们可以断环成链

于是我们可以考虑，找到一个最好的起点\(i\)，找到最好的\(T_i\)，使得从i点在\(T_i\)时刻出发答案最优，即我们要求这个式子：\(min(T_i+n)\)其中满足对于任意的\(x\)，\(T_i≥t_x-x+i\)

即我们要求：\(min_{i=1}^n(n + max_{x=i+1}^{2*n}(i-x + t_x))=min_{i=1}^n(n+i+max_{x=i+1}^{2*n}(x-t_x))\)

所以我们枚举每一个起点，找到最大的\(t_x-x\)，用线段树维护，单次操作复杂度为\(O(NlogN)\)，现在问题要考虑怎么修改

令\(a_i=t_i-i\)，所以原式变成\(n+min_{i=1}^n(max_{x=i+1}^{2*n}(a_x)+i)\)

不难发现，\(max_{x=i+1}^{i+n}(a_x)\)是单调不增的。于是，我们维护一个单调栈，对于每一个\(max_{x=i+1}^{i+n}(a_x)\)连续的一段，找到一个最小的\(i\)即可，单调栈可以用线段树来维护（详见我楼房重建的题解），把楼房重建的求和改成\(max\)就行了，于是复杂度就变成了\(O(Nlog^2N)\)

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return x * f;
}
#define rep(i, s, t) for(int i = s; i <= t; ++ i)
#define ls k * 2
#define rs k * 2 + 1
#define maxn 100005
int n, m, p, last, a[maxn << 1], ma[maxn << 3], ans[maxn << 3];
int query(int k, int l, int r, int v) {
	if(l == r) return l + max(v, ma[k]);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(ma[rs] >= v) return min(ans[k], query(rs, mid + 1, r, v));
	return min(mid + v + 1, query(ls, l, mid, v));
}
inline void updata(int k, int l, int r, int mid) {
	ma[k] = max(ma[ls], ma[rs]), ans[k] = query(ls, l, mid, ma[rs]);
}
void modify(int k, int l, int r, int ll) {
	if(l == r) return (void)(ans[k] = a[l] + l, ma[k] = a[l]);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(ll <= mid) modify(ls, l, mid, ll);
	else modify(rs, mid + 1, r, ll);
	updata(k, l, r, mid);
}
void build(int k, int l, int r) {
	if(l == r) return (void)(ans[k] = a[l] + l, ma[k] = a[l]);
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r), updata(k, l, r, mid);
}
int main() {
	n = read(), m = read(), p = read();
	rep(i, 1, n) a[i] = read() - i, a[i + n] = a[i] - n;
	build(1, 1, n * 2);
	printf("%d\n", last = ans[1] + n - 1);
	rep(i, 1, m) {
		int x = read() ^ (p * last), y = read() ^ (p * last);
		a[x] = y - x, a[x + n] = y - x - n, modify(1, 1, 2 * n, x), modify(1, 1, 2 * n, x + n);
		printf("%d\n", last = ans[1] + n - 1);
	}
	return 0;
}