Codechef：Fibonacci Number/FN——求通项+二次剩余+bsgs

题意

定义 $F_n$ 为

$$F_n = \left\{\begin{matrix}
0, n=0\\
1, n=1 \\
F_{n-1} + F_{n-2}, n > 1
\end{matrix}\right.$$

现给你一个素数 $p$ 和一个非负整数 $C$，你需要最小的非负整数 $n$，使得 $F_n \equiv C (mod \ p)$.

分析

因为题目保证 $p \ mod \ 10$ 是一个完全平方数，也就是说 $p \ mod \ 5$ 等于1或-1，即5是模$p$ 的二次剩余（据说）。

求出通项，用Cipolla求出5的二次剩余，记为 $c$，并记 $p = \frac{1+c}{2}$，

通项变成

$${1\over c}\left(p^n-(-1)^n{1\over p^n}\right)\equiv a\pmod{P}$$

解得

$$p^n\equiv {ac\pm \sqrt{ac+4(-1)^n}\over 2}$$

然后枚举一下 $n$ 的奇偶性，再用BSGS求出 $n$就可以了。

//我原来的模板好像有问题，这里贴大佬的模板

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define inf 0x7fffffff
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,:;}
using namespace std;
char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,,<<,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=;R char ch;
    while((ch=getc())>''||ch<'')(ch=='-')&&(f=-);
    for(res=ch-'';(ch=getc())>=''&&ch<='';res=res*+ch-'');
    return res*f;
}
char sr[<<],z[];int C=-,Z=;
inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
void print(R int x){
    if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%+,x/=);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
int P;
inline int add(R int x,R int y){return 0ll+x+y>=P?0ll+x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
    R int res=;
    for(;y;y>>=,x=mul(x,x))(y&)?res=mul(res,x):;
    return res;
}
int w,a;
struct cp{
    int x,y;
    inline cp(R int _x,R int _y):x(_x),y(_y){}
    inline cp operator *(const cp &b)const{
        return cp(add(mul(x,b.x),mul(w,mul(y,b.y))),add(mul(x,b.y),mul(y,b.x)));
    }
};
int ksm(R cp x,R int y){
    R cp res(,);
    for(;y;y>>=,x=x*x)if(y&)res=res*x;
    return res.x;
}
int Sqrt(int x){
    if(!x)return ;
    if(ksm(x,(P-)>>)==P-)return -;
    while(true){
        a=mul(rand(),rand()),w=dec(mul(a,a),x);
        if(ksm(w,(P-)>>)==P-)return ksm(cp(a,),(P+)>>);
    }
}
const int N=;
struct Hash{
    struct eg{int v,nx,w;}e[N];int head[N],tot;
    inline void clr(){memset(head,,sizeof(head)),tot=;}
    inline void add(R int v,R int w){e[++tot]={v,head[v&],w},head[v&]=tot;}
    int query(int x){
        go(x&)if(v==x)return e[i].w;
        return -;
    }
}mp[];
int bsgs(int x,int v,int sgn){
    int m=sqrt(P)+;mp[].clr(),mp[].clr();
    for(R int i=,res=mul(v,x);i<=m;++i,res=mul(res,x))mp[i&].add(res,i);
    for(R int i=,tmp=ksm(x,m),res=tmp;i<=m;++i,res=mul(res,tmp))
        if(mp[(i*m)&^sgn].query(res)!=-)return i*m-mp[(i*m)&^sgn].query(res);
    return inf;
}
int c,s,p,inv2,res,rt;
int main(){
    srand(time(NULL));
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    for(int T=read();T;--T){
        c=read(),P=read(),s=Sqrt(),inv2=(P+)>>,p=mul(s+,inv2),c=mul(c,s);
        res=inf;
        rt=Sqrt((1ll*c*c+)%P);
        if(rt!=-){
            cmin(res,bsgs(p,mul(add(c,rt),inv2),)),
            cmin(res,bsgs(p,mul(dec(c,rt),inv2),));
        }
        rt=Sqrt((1ll*c*c+P-)%P);
        if(rt!=-){
            cmin(res,bsgs(p,mul(add(c,rt),inv2),)),
            cmin(res,bsgs(p,mul(dec(c,rt),inv2),));
        }
        printf("%d\n",res==inf?-:res);
    }
    return ;
}

参考链接：https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10664967.html