「2017 山东一轮集训 Day5」苹果树

「2017 山东一轮集训 Day5」苹果树

\(n\leq 40\)

折半搜索+矩阵树定理。

没有想到折半搜索。

首先我们先枚举\(k\)个好点，我们让它们一定没有用的。要满足这个条件就要使它只能和坏点相连。其他的点没有要求。这样算出来了至少\(k\)个点没有用的生成树个数，我们要得到恰好\(k\)个点的生成树个数就简单容斥一下就好了。

然后我们要得到有\(k\)个点没有用的情况下的点集的方案数。看到\(40\)这个范围我们容易想到折半搜索。

然后就没了。

但是我没写容斥，写的枚举集合划分(被吊打

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 45

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=1e9+7;
int n;
ll lim;
int a[N];
ll c[N][N];
ll fac[N],ifac[N],g[N];
ll w[N][N];
ll sum;
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}

ll f[N];
ll ned;
int good[N];
ll bad;
int num[N];
ll ans;
ll Gauss(ll a[][45],int n) {
	ll ans=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		for(int j=i+1;j<=n;j++) {
			if(a[j][i]) {
				ans=ans*(mod-1)%mod;
				swap(a[i],a[j]);
				break;
			}
		}
		if(!a[i][i]) return 0;
		ans=ans*a[i][i]%mod;
		for(int j=i+1;j<=n;j++) {
			if(!a[j][i]) continue ;
			ll tem=ksm(a[i][i],mod-2)*a[j][i]%mod;
			for(int k=i;k<=n;k++) a[j][k]=(a[j][k]-tem*a[i][k]%mod+mod)%mod;
		}
	}
	return ans;
}

vector<int>st;
ll cal() {
	if(!f[num[1]]) return 0;
	int tot=bad;
	st.clear();
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=num[i];j++) st.push_back(i);
	for(int i=1;i<=n;i++) tot+=num[i];
	memset(w,0,sizeof(w));

	for(int i=0;i<st.size();i++) {
		w[i+1][i+1]=st[i]*bad;
		for(int j=st.size()+1;j<=tot;j++) {
			w[i+1][j]=mod-st[i];
		}
	}
	for(int i=st.size()+1;i<=tot;i++) {
		w[i][i]=n-1;
		for(int j=st.size()+1;j<=tot;j++)
			if(i!=j) w[i][j]=mod-1;
		for(int j=0;j<st.size();j++)
			w[i][j+1]=mod-st[j];
	}

	ll ans=f[num[1]];
	ans=ans*fac[n-bad-num[1]]%mod%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		ans=ans*ksm(ifac[i],num[i])%mod;
		ans=ans*ksm(g[i],num[i])%mod;
		ans=ans*ifac[num[i]]%mod;
	}

	ll tem=Gauss(w,tot);
	return ans*tem%mod;
}

int mid;
void dfs(int v,int lim,ll now,int cnt,vector<int>*a) {
	if(v>lim) return ;
	dfs(v+1,lim,now,cnt,a);
	a[cnt+1].push_back(now+good[v]);
	dfs(v+1,lim,now+good[v],cnt+1,a);
}

void meet_in_the_middle() {
	mid=good[0]>>1;
	vector<int>a[N],b[N];
	dfs(1,mid,0,0,a);
	dfs(mid+1,good[0],0,0,b);
	for(int i=1;i<=mid;i++) sort(a[i].begin(),a[i].end());
	for(int i=1;i<=mid;i++)
		for(int j=0;j<a[i].size();j++)
			if(a[i][j]>=ned) f[i]++;
	for(int i=1;i<=good[0]-mid;i++) {
		for(int j=0;j<b[i].size();j++) {
			if(b[i][j]>=ned) f[i]++;
			for(int k=1;k<=mid;k++) {
				(f[i+k]+=a[k].end()-lower_bound(a[k].begin(),a[k].end(),ned-b[i][j]))%=mod;
			}
		}
	}
}

int dep;
void dfs(int v,int res) {
	if(!res) {
		dep++;
		(ans+=cal())%=mod;
		return ;
	}
	if(!v) return ;
	dfs(v-1,res);
	for(int i=1;i*v<=res;i++) {
		num[v]=i;
		dfs(v-1,res-i*v);
		num[v]=0;
	}
}

bool cmp(int a,int b) {return a>b;}

int main() {
	n=Get(),lim=Get();
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	ifac[n]=ksm(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			c[i][j]=(!j||i==j)?1:(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;

	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Get();

	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(a[i]>0) {
			good[++good[0]]=a[i];
			sum+=a[i];
		} else bad++;
	}
	ned=sum-lim;

	if(sum<=lim) {
		cout<<ksm(n,n-2)%mod;
		return 0;
	}
	if(!bad) {cout<<0;return 0;}

	sort(good+1,good+good[0]+1,cmp);
	meet_in_the_middle();
	g[0]=g[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) g[i]=ksm(i,i-2)%mod;
	dfs(good[0],good[0]);
	cout<<ans;
	return 0;
}