Luogu P4551 最长异或路径

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\(01Trie\)好题裸题。

取节点\(1\)为根节点，向下扫每一个点从根节点到它路径上的异或和，我们可以得到一个\(sumx[u]\)。

现在路径异或和有两类：

• 跨过根节点，这种的异或路径长度等于两个子节点的\(sumx\)异或和异或起来的数值大小
• 在一棵子树中，这种的异或路径等于\(sumx[u]\)异或上\(sumx[v]\)再异或掉两次\(sumx[1->lca (u, v)]\)（因为被额外计算），依然等于两个子节点的\(sumx\)异或和异或起来的数值大小。

所以问题转为求在\(sumx\)中，对每个\(sumx[u]\)，和它产生最大异或和的\(sumx[v]\)最大可以异或出来多少。我们把数列每个值插入\(01Trie\)中，求解时尽可能选择对应位不同的数。复杂度\(O(N*31)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

int cnt, head[N];

struct edge {
	int nxt, to, w;
}e[N << 1];

void add_edge (int from, int to, int val) {
	e[++cnt].nxt = head[from];
	e[cnt].to = to;
	e[cnt].w = val;
	head[from] = cnt;
}

void add_len (int u, int v, int w) {
	add_edge (u, v, w);
	add_edge (v, u, w);
}

int n, u, v, w, sumx[N];

void get_sumx (int u, int fa) {
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if (v != fa) {
			sumx[v] = sumx[u] ^ e[i].w;
			get_sumx (v, u);
		}
	}
}

int ch[N * 31][2], max_size;

void insert (int val) {
	int now = 0;
	for (int i = 30, to = 0; i >= 0; --i) {
		to = ((val & (1 << i)) != 0); //如果 val 第 i 位上为 1
		if (!ch[now][to]) {
			ch[now][to] = ++max_size;
		}
		now = ch[now][to];
	}
}

int get_ans (int val) {
	int now = 0, ans = val;
	for (int i = 30; i >= 0; --i) {
		if (ans & (1 << i)) {
			//这一位为1 -> 向0走
			if (ch[now][0] != 0) {
				now = ch[now][0];
			} else {
				val ^= (1 << i);
				now = ch[now][1];
			}
		} else {
			//为0 -> 向1走
			if (ch[now][1] != 0) {
				val ^= (1 << i);
				now = ch[now][1];
			} else {
				now = ch[now][0];
			}
		}
	}
	return max (val, ans);
}

int main () {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n - 1; ++i) {
		cin >> u >> v >> w;
		add_len (u, v, w);
	}
	get_sumx (1, 0);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		insert (sumx[i]);
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		ans = max (ans, get_ans (sumx[i])); //求sumx与其他数的最大异或
	}
	cout << ans << endl;
}