【洛谷P2257】YY的GCD

题目大意：有 \(T\) 个询问，每个询问给定 \(N, M\),求 \(1\le x\le N, 1\le y\le M\) 且 \(gcd(x, y)\) 为质数的 \((x, y)\) 有多少对。

题解：直接像 GCD 那道题一样预处理欧拉函数的前缀和并用素数计算答案贡献会TLE。

考虑采用狄利克雷卷积进行优化。

\[\sum_{k=1}^{n} \sum_{d=1}^{\left\lfloor\frac{n}{K}\right\rfloor} \mu(d) *\left\lfloor\frac{n}{k d}\right\rfloor *\left\lfloor\frac{m}{k d}\right\rfloor \quad(k \in \text { prime })
\]

\[\sum_{k=1}^{n} \sum_{d=1}^{\left\lfloor\frac{n}{\pi}\right\rfloor} \mu(d) *\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor *\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor(k \in \text { prime })
\]

\[\sum_{T=1}^{n}\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor *\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor \sum_{k T, k \in p i m r e} \mu\left(\frac{T}{k}\right)
\]

可以 \(O(n)\) 预处理，\(O(\sqrt n)\) 回答每次询问，总时间复杂度为 \(O(n\sqrt n)\)。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=1e7+10;

int n,m;
int mu[maxn],prime[maxn],tot,f[maxn],sum[maxn];
bool vis[maxn];

void seive(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=1e7;i++){
		if(!vis[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;i*prime[j]<=1e7;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		for(int j=1;j*prime[i]<=1e7;j++)
			f[prime[i]*j]+=mu[j];
	for(int i=1;i<=1e7;i++)sum[i]=sum[i-1]+f[i];
}

void solve(){
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=(ll)(sum[j]-sum[i-1])*(ll)(n/i)*(ll)(m/i);
		i=j;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
	seive();
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(n>m)swap(n,m);
		solve();
	}
	return 0;
}