BZOJ3622 已经没有什么好害怕的了 动态规划 容斥原理 组合数学

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题目传送门 - BZOJ3622

题意

　　给定两个序列 $a,b$ ，各包含 $n$ 个数字。

　　现在给 $a$ 中元素与 $b$ 中元素配对。问使得所有配对中 $a_?>b_?$ 的个数比 $a_?<b_?$ 的个数恰好多 $k$ 的方案总数。

　　答案对 $10^9+9$ 取模，保证 $a$ 和 $b$ 中的所有数字互不相同。

　　$n\leq 2000$

题解

　　首先闭着眼睛排个序。

　　然后，我们发现一个非常好的性质：如果要使得 $a_i$ 的配对 $b_?$ 满足 $a_i>b_?$ 那么，满足 $1\leq ?\leq c_i$ ，其中 $c_i$ 表示在 $1\leq j\leq n$ 中满足 $b_j<a_i$ 的最大 $j$ 值。

　　我们先把问题转化一下，变成求恰好得到 $x$ 个 $a_?>b_?$ 的方案数。那么显然 $x=\cfrac{n+k}{2}$ 。如果 $x$ 不是整数，那么答案显然是 $0$ 。

　　下面说的满足条件是指 $a_?>b_?$ 。

　　于是我们考虑动态规划。

　　记 $f_{i,j}$ 表示在 $a_1,a_2,...,a_i$ 中选择 $j$ 个，匹配比他小的 $b_i$ 的方案数。

　　那么我们可以轻松确定转移方程：

$$f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}\times \max(c_i-j+1,0)$$

　　我们假设 $f_i=f_{n,i}$ ，并设 $g_i$ 为配对所有的元素，恰好有 $i$ 个满足条件的方案数。

　　于是下式成立：

$$f_i=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}g_j$$　　

　　回忆一下 $f$ 的定义，$f_i$ 表示在 $n$ 个里面选择 $i$ 个匹配 $i$ 个满足条件的方案数。

　　考虑所有的最终情况。

　　满足条件个数为 $j$ 的总共有 $g_j$ 种。每一个这样的方案中选择的 $j$ 个数中，任选 $i$ 个，所得到的方案，都会对 $f_i$ 有贡献。

　　所以，$f_i=\sum_{j=0}^{n}\binom{j}{i}g_j=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}g_j$ 。

　　于是我们来用 $f$ 表示 $g$ 。

$$\begin{eqnarray*}g_k&=&\sum_{i=k}^{n}g_i\binom{i}{k}\sum_{j=k}^{i}(-1)^{j-k}\binom{i-k}{j-k} \\&=&\sum_{i=k}^{n}g_i\sum_{j=k}^{i}(-1)^{j-k}\binom{i}{k}\binom{i-k}{j-k}\\&=&\sum_{i=k}^{n}g_i\sum_{j=k}^{i}(-1)^{j-k}\binom{i}{j}\binom{j}{k}\\&=&\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}\sum_{j=i}^{n}g_j\binom{j}{i}\\&=&\sum_{i=k}^{n}f_i(-1)^{i-k}\binom{i}{k}\end{eqnarray*}$$

　　然后按照这个公式算一算就可以了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2005,mod=1e9+9;
int n,k,a[N],b[N],c[N];
int C[N][N],Fac[N];
int f[N][N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&b[i]);
	sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+n+1);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (c[i]=c[i-1];c[i]<n&&b[c[i]+1]<a[i];c[i]++);
	for (int i=Fac[0]=1;i<=n;i++)
		Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%mod;
	for (int i=0;i<=n;i++)
		C[i][i]=C[i][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	for (int i=0;i<=n;i++)
		f[i][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			f[i][j]=(1LL*f[i-1][j-1]*max(c[i]-j+1,0)+f[i-1][j])%mod;
	int ans=0,x=(n+k)/2;
	if (x*2!=n+k){
		puts("0");
		return 0;
	}
	for (int i=x;i<=n;i++)
		ans=(1LL*f[n][i]*C[i][x]%mod*Fac[n-i]*((i-x+1)%2*2-1)+ans)%mod;
	ans=(ans+mod)%mod;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}