Nowcoder contest 370F Rinne Loves Edges （简单树形DP) || 【最大流】(模板)

<题目链接>

题目大意：

一个 $n$ 个节点 $m$ 条边的无向连通图，每条边有一个边权 $w_i$。现在她想玩一个游戏：选取一个 “重要点” S，然后选择性删除一些边，使得原图中所有除 S 之外度为 1 的点都不能到达 S。定义删除一条边的代价为这条边的边权，现在 Rinne 想知道完成这个游戏的最小的代价。(2≤S≤N≤10^5,M=N−1，保证答案在 C++ long long 范围内) 

解题分析：

因为该无向图连通，并且$n=m+1$，所以该图一定是一颗树。我们可以用树形DP解决本题。题目意思就是要我们删除该树中除$u$以外的所有叶子节点(如果u不为叶子节点的话，就是删除所有的叶子节点)的最小代价。很容易想到转移方程，用$cost[u]$表示删除以u为根的子树中所有叶子的最小代价，如果v直接与叶子相连的话，肯定要删除v--->叶子的这条边，所以所有的叶子节点的点权初始化为无穷大。然后就是利用树中的关系转移，对于以$u$为根的子树来说，$v$是它的一个直接相连的子节点，如果以v为根的子树中有叶子，则有两种情况删除。一：直接删除$u-->v$直接相连的这条边；二：不删除$u-->v$的这条边，删除以$v$为根的子树中的边，使v中的叶子节点不可到达$u$节点。这两种情况取最小值即可。同时本题用最大流也能够很容易解决。

树形DP

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e5+;
struct Edge{int to;ll w;};
vector<Edge>G[N];
int n,m,s;
ll cost[N];

void dfs(int u,int fa){
    if(G[u].size()== && u!=s)   //叶子节点的权值置为无穷
        cost[u]=1e18;
    for(int i=;i<G[u].size();i++){
        int v=G[u][i].to;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        cost[u]+=min(cost[v],G[u][i].w);   //就是要删除以v为根的子树中的叶子所有叶子节点的最小代价
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=;i<=m;i++){
        int u,v;ll w;scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
        G[u].push_back(Edge{v,w});
        G[v].push_back(Edge{u,w});
    }
    dfs(s,);
    printf("%lld\n",cost[s]);
}

最大流Dinic

以S为汇点，再建立一个超级源点，连上所有的叶子节点(除S以外)，然后直接跑一遍最大流即可。

下面的是两种最大流的板子：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e5+;
const ll INF = 1e18;

int n, m, S;
int deg[N];

struct Dinic
{
    struct edge{ int from,to;ll cap,flow; };     //cap-flow才是这条边的真实流量
    vector<edge>es;
    vector<int>G[N];
    bool vis[N];
    int dist[N],iter[N];
    void init(int n){
        for(int i=; i<=n+; i++)G[i].clear();
        es.clear();
    }
    void addedge(int from,int to,ll cap){
        es.push_back((edge){from,to,cap,});    //将边存储的边表
        es.push_back((edge){to,from,,});
        int x=es.size();
        G[from].push_back(x-);    //G[u][i]记录以u为顶点的第i条边的反边在es中的编号
        G[to].push_back(x-);
    }
    bool BFS(int s,int t){      //bfs将该图划分成分层图
        memset(vis,,sizeof(vis));
        queue <int> q;
        vis[s]=;
        dist[s]=;
        q.push(s);
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();q.pop();
            for(int i=; i<G[u].size(); i++){
                edge &e=es[G[u][i]];
                if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow){
                    vis[e.to]=;
                    dist[e.to]=dist[u]+;
                    q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }
    int DFS(int u,int t,ll f){
        if(u==t||f==)return f;
        int nowflow=,d;
        for(int &i=iter[u]; i<G[u].size(); i++){
            edge &e=es[G[u][i]];
            if(dist[u]+==dist[e.to]&&(d=DFS(e.to,t,min(f,e.cap-e.flow)))>){
                e.flow+=d;     //正边真实流量-d
                es[G[u][i]^].flow-=d;    //反边真实流量+d
                nowflow+=d;    //得到现在搜得的能够流入汇点的流量
                f-=d;      //找到一条增广路之后，减去这条路的流量，然后继续从这个顶点的其它边开始寻找增广路
                if(f==)break;
            }
        }
        return nowflow;
    }
    int Maxflow(int s,int t){
        int flow=;
        while(BFS(s,t)){
            memset(iter,,sizeof(iter));
            int d=;
            while(d=DFS(s,t,INF))flow+=d;
        }
        return flow;
    }
}dinic;

void Get_Graph(){
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &S);
    for (int i = ; i <= m; ++i) {
        int u, v; ll w;
        scanf("%d %d %lld", &u, &v, &w);
        deg[u]++; deg[v]++;
        dinic.addedge(u, v, w); dinic.addedge(v, u, w);
    }

    for (int i = ; i <= n; ++i)
        if (deg[i] ==  && i != S) dinic.addedge(, i, INF);     //建一个超级源点，流向所有度数为1的点(除s以外)
}

int main(){
    Get_Graph();
    cout<<dinic.Maxflow(,S)<<endl;
}

能够记录边的容量

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N =  + ;
const ll INF = 1e18;
int n, m, S;
int deg[N];

struct edge {
  int to, rev; ll cap;
  edge(int _to, ll _cap, int _rev) { to = _to, cap = _cap, rev = _rev; }
};
vector<edge> G[N];

inline void add_edge(int from, int to, ll cap) {
    G[from].push_back(edge(to, cap, G[to].size()));
    G[to].push_back(edge(from, , G[from].size() - ));
}

void init() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &S);
    for (int i = ; i <= m; ++i) {
        int u, v; ll w;
        scanf("%d %d %lld", &u, &v, &w);
        deg[u]++; deg[v]++;
        add_edge(u, v, w); add_edge(v, u, w);
    }

    for (int i = ; i <= n; ++i)
        if (deg[i] ==  && i != S) add_edge(, i, INF);     //建一个超级源点，流向所有度数为1的点(除s以外)
}

struct Dinic {
    int level[N], iter[N];
    queue <int> que;

    inline void bfs(int s) {
        memset(level, -, sizeof level);
        level[s] = ;    //将图划分为层次图
        que.push(s);

        while (!que.empty()) {
            int u = que.front(); que.pop();
            for (int i = ; i < G[u].size(); ++i) {
                edge &e = G[u][i];
                if (e.cap >  && level[e.to] < ) {
                    level[e.to] = level[u] + ;
                    que.push(e.to);
                }
            }
        }
    }

    ll dfs(int u, int t, ll f) {
        if (u == t) return f;

        for (int &i = iter[u]; i < G[u].size(); ++i) {
            edge &e = G[u][i];
            if (e.cap >  && level[e.to] > level[u]) {
                ll d = dfs(e.to, t, min(f, e.cap));
                if (d > ) {
                    e.cap -= d;
                    G[e.to][e.rev].cap += d;
                    return d;
                }
            }
        }
        return ;
    }

    ll max_flow(int s, int t) {
        ll flow = ;
        for (;;) {
            memset(iter, , sizeof iter);
            bfs(s);
            if (level[t] < ) return flow;
            ll f;
            while ((f = dfs(s, t, INF)) > ) flow += f;
        }
    }
}dinic;

int main() {
    init();
    cout << dinic.max_flow(, S) << endl;     //S为汇点
}

不能记录边的容量