Codeforces1097D. Makoto and a Blackboard(数论+dp+概率期望)
题目链接:传送门
题目大意:
给出一个整数n写在黑板上,每次操作会将黑板上的数(初始值为n)等概率随机替换成它的因子。
问k次操作之后,留在黑板上的数的期望。
要求结果对109+7取模,若结果不是整数,则用分数表示,并对109+7取逆元。
(1 ≤ n ≤ 1015, 1 ≤ k ≤ 104)
思路:
首先我们要知道,在模109+7的范围内,可以任意进行模109+7的加减乘除运算,因为一个给定的数值,它在模109+7条件下的值是唯一确定的。
然后我们只要正常地计算,在每次运算之后对109+7取模就好了。
假设一个数pj的出现概率为x,其中p为质数,j为任意非负整数(假设初始的数为pcc的话,那么0 ≤ j ≤ cc)。那么一次操作留下的数只能是pt(0 ≤ t ≤ j),因为是等概率分布,所以每个留下的数的概率均为x/j = x * inv(j)。(inv表示在模109+7下取逆元)
标记状态:dp[i][j]为第i次操作后p的j次幂出现的概率;
那么状态转移方程为:dp[i+1][t] += dp[i][j] * inv(j);(0 ≤ t ≤ j)
而题目给出的数可能不是一个质数的幂,这怎么办呢?我们知道任意一个正整数可以表示为p1cc1*p2cc2*…*pkcck,对于所有的picci,他们留下的数piji的乘积就是最后留下的数,所以他们对答案的贡献的乘积就是最后的答案。
代码:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std;
typedef long long ll;
const int md = 1e9 + ; inline void add(int& a, int b) {
a += b;
if (a > md)
a -= md;
} inline void sub(int& a, int b) {
a -= b;
if (a < )
a += md;
} inline int mul(int a, int b) {
return (int) (1LL * a * b % md);
} int fpow(int a, int p) {
int res = ;
for (; p; p >>= ) {
if (p & )
res = mul(res, a);
a = mul(a, a);
}
return res;
} int inv(int x) {
return fpow(x, md-);
} int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
ll n;
int k;
cin >> n >> k;
vector <pair<ll, int> > f;
for (ll i = ; i <= n/i; i++) {
if (n % i == ) {
int cc = ;
while (n % i == ) {
n /= i;
cc++;
}
f.emplace_back(i, cc);
}
}
if (n > )
f.emplace_back(n, ); int ans = ;
for (auto& p : f) {
int cc = p.second;
vector <vector<int> > dp(k+, vector<int>(cc+, ));
dp[][cc] = ;
for (int i = ; i < k; i++) {
for (int j = ; j <= cc; j++) {
int tmp = mul(dp[i][j], inv(j+));
for (int t = ; t <= j; t++)
add(dp[i+][t], tmp);
}
} int x = , res = ;
for (int i = ; i <= cc; i++) {
add(res, mul(x, dp[k][i]));
x = mul(x, (int)(p.first % md));
}
ans = mul(ans, res);
}
cout << ans << endl;
return ;
}
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