应用留数定理计算实积分 $\dps{I(x)=\int_{-1}^1\frac{\rd t}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\ (|x|>1,x\in\bbR)}$ [华中师范大学2010年复变函数复试试题]

解答: $$\beex \bea I(x)&=\int_{-1}^1 \frac{\rd t}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rd \tt}{\sin\tt-x}\quad(t=\sin\tt)\\ &=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\rd \tau}{\sin\tau-x}\quad(\pi-\tt=\tau)\\ &=\frac{1}{2}\sez{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} +\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{\rd \tt}{\sin\tt-x}}\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\rd \tt}{\sin\tt-x}\\ &=\frac{1}{2}\int_{|z|=1}\frac{1}{\frac{z-z^{-1}}{2i}-x}\cdot \frac{\rd z}{iz}\\ &=\int_{|z|=1}\frac{\rd z}{z^2-2ixz-1}\\ &=\sedd{\ba{ll} 2\pi i\cdot \underset{z=i(x+\sqrt{x^2-1})}{\Res}\cfrac{1}{z^2-2ixz-1},&x<-1\\ 2\pi i\cdot \underset{z=i(x-\sqrt{x^2-1})}{\Res}\cfrac{1}{z^2-2ixz-1},&x>1 \ea}\\ &=\sedd{\ba{ll} \cfrac{\pi}{\sqrt{x^2-1}},&x<-1\\ -\cfrac{\pi}{\sqrt{x^2-1}},&x>1 \ea}\\ &=-\frac{\pi}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}. \eea \eeex$$

应用留数定理计算实积分 $\dps{I(x)=\int_{-1}^1\frac{\rd t}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\ (|x|>1,x\in\bbR)}$ [华中师范大学2010年复变函数复试试题]的更多相关文章

  1. 求复变函数的 Taylor 展式与 Laurent 展式[华中师范大学2010年复变函数复试试题]

    设 $$\bex f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}. \eex$$ (1) 求 $f(z)$ 在 $|z|<1$ 内的 Taylor 展式. (2) 求 $f(z)$ 在圆环 ...

  2. 「学习记录」《数值分析》第二章计算实习题(Python语言)

    在假期利用Python完成了<数值分析>第二章的计算实习题,主要实现了牛顿插值法和三次样条插值,给出了自己的实现与调用Python包的实现--现在能搜到的基本上都是MATLAB版,或者是各 ...

  3. poj 1265 Area【计算几何:叉积计算多边形面积+pick定理计算多边形内点数+计算多边形边上点数】

    题目:http://poj.org/problem?id=1265 Sample Input 2 4 1 0 0 1 -1 0 0 -1 7 5 0 1 3 -2 2 -1 0 0 -3 -3 1 0 ...

  4. 「学习记录」《数值分析》第三章计算实习题(Python语言)

    第三题暂缺,之后补充. import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import scipy.optimize as so import sy ...

  5. 家里蹲大学数学杂志 Charleton University Mathematics Journal 官方目录[共七卷493期,6055页]

    家里蹲大学数学杂志[官方网站]从由赣南师范大学张祖锦老师于2010年创刊;每年一卷, 自己有空则出版, 没空则搁置, 所以一卷有多期.本杂志至2016年12月31日共7卷493期, 6055页.既然做 ...

  6. Mobius反演与积性函数前缀和演学习笔记 BZOJ 4176 Lucas的数论 SDOI 2015 约数个数和

    下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧 因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} ...

  7. BERT解析及文本分类应用

    目录 前言 BERT模型概览 Seq2Seq Attention Transformer encoder部分 Decoder部分 BERT Embedding 预训练 文本分类试验 参考文献 前言 在 ...

  8. 中国石油大学(华东)数学实验(MATLAB)复习

    作者:张世琛 函数的导数 $$ 求函数y=log(x+\sqrt{1+x^2})的一阶和二阶导数 $$ syms x; y=log(x+sqrt(1+x^2)); dydx=diff(y,x); dy ...

  9. [hdu6987]Cycle Binary

    定义$x$为$s$的周期,当且仅当$\forall 1\le i\le |s|-x,s_{i}=s_{i+x}$​​(字符串下标从1开始) 令$per(s)$为$s$的正周期构成的集合,$\min p ...

随机推荐

  1. Python开发【内置模块篇】datetime

    获取当前日期和时间 >>> from datetime import datetime >>> now = datetime.now() >>> ...

  2. go笔记-熔断器

    参考: https://studygolang.com/articles/13254 区别:(限速器 VS 熔断器) 限速器(limiter)可以限制接口自身被调的频率 熔断器可监控所调用的服务的失败 ...

  3. 为什么很多IT公司不喜欢进过培训机构的人呢?

    转载原文链接:https://www.cnblogs.com/alex3714/p/9105765.html 这几天在知乎看到一个问题“为什么很多IT公司不喜欢进过培训机构的人呢?” 身为老男孩的教学 ...

  4. .Net Core应用框架Util介绍(一)

    距离上次发文,已经过去了三年半,这几年技术更新节奏异常迅猛,.Net进入了跨平台时代,前端也被革命性的颠覆. 回顾 2015年,正当我还沉迷于JQuery + EasyUi的封装时,突然意识到技术已经 ...

  5. 什么是面向切面编程AOP

    一丶前言 看过一些描述关于AOP切面编程的文章,写的太概念化让人很难理解,下面是我自己的理解,希望能帮到新人,如有错误欢迎指正. 二丶AOP是什么,它的应用场景是什么? AOP也跟IOC,OOP这些思 ...

  6. 基于C#的socket编程的TCP异步实现

    一.摘要 本篇博文阐述基于TCP通信协议的异步实现. 二.实验平台 Visual Studio 2010 三.异步通信实现原理及常用方法 3.1 建立连接 在同步模式中,在服务器上使用Accept方法 ...

  7. 在pycharm中查看内建函数源码

    鼠标放在内建函数上,Ctrl+B,看源码

  8. springboot 学习进度

    1 hello world --------------ok 主启动程序必须在层次结构的最上面. 2 配置 3.日志 4.Web开发 1)SpringBoot集成JSP的方法 配置applicatio ...

  9. PS调出清新风格社区街拍照片

    原图: 首先呢,我们还是先看一下在直方图,但是呢,你会发现,这张照片的直方图毫无特色. 简直是标准得不能再标准的直方图了.所以各位那我们就跳过这步吧.你要真跳过这步你就完了.直方图还有三个儿子啊,通道 ...

  10. #Leetcode# 997. Find the Town Judge

    https://leetcode.com/problems/find-the-town-judge/ In a town, there are N people labelled from 1 to  ...