UOJ#394. 【NOI2018】冒泡排序

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ394.html

题解

首先我们发现一个数不能既被往左换又被往右换。也就是说不能有任何一个数左边有比他大的，又被有比他小的。

也就是最长下降子序列长度不超过 2 。

所以我们一定可以找到 2 个上升序列包含所有的数。

于是容易想到 $O(n^2)$ 的 dp：

$dp_{i,j}$ 表示加入了 $i$ 个数，最大值为 $j$ 的情况下，填完的方案数。

那么，如果下一个数小于 $i$ ，那肯定是填小于 $j$ 的第一个，否则就是填一个比 $j$ 更大的值。

我们把这个东西看做括号序列，填一个比 $j$ 大的值就相当于加入若干个左括号，然后再加入一个右括号；填一个比 $j$ 小的数字就相当于加入一个右括号。

这个东西的方案数可以用类似于卡特兰数的公式 $C_i = \binom {2i} {i} - \binom {2i} {i-1}$ 的推导方法来得到。

这个请自行搜索，懒得画图了。

代码

#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\
						For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=1200005,mod=998244353;
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
	if ((x-=y)<0)
		x+=mod;
}
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
int n;
int Fac[N],Inv[N];
void prework(){
	int n=N-1;
	for (int i=Fac[0]=1;i<=n;i++)
		Fac[i]=(LL)Fac[i-1]*i%mod;
	Inv[n]=Pow(Fac[n],mod-2);
	Fod(i,n,1)
		Inv[i-1]=(LL)Inv[i]*i%mod;
}
int C(int n,int m){
	if (m>n||m<0)
		return 0;
	return (LL)Fac[n]*Inv[m]%mod*Inv[n-m]%mod;
}
int p[N];
int q[N],head,tail;
int pos,vis[N];
int calc(int x,int y){
	//from (x,y) to (n,n)
	//without crossing line x=y
	if (x>n||y>n)
		return 0;
	assert(x<=y);
	int _x=y+1,_y=x-1;
	return (C(n-x+n-y,n-x)-C(n-_x+n-_y,n-_x)+mod)%mod;
}
void Main(){
	n=read();
	For(i,1,n)
		p[i]=read();
	int ans=0;
	clr(vis);
	pos=1,head=tail=0;
	int Mx=0;
	int x=0,y=0;
	For(i,1,n){
		if (p[i]>Mx){
			Mx=p[i];
			while (pos<p[i]){
				if (!vis[pos]){
					q[++tail]=pos;
					vis[pos]=1;
					y++;
				}
				pos++;
			}
			Add(ans,calc(x,y+2));
			x++,y++;
		}
		else {
			Add(ans,calc(x,y+1));
			if (head>=tail||q[head+1]!=p[i])
				break;
			head++;
			x++;
		}
		vis[p[i]]=1;
	}
	cout<<ans<<endl;
}
int main(){
	prework();
	int T=read();
	while (T--)
		Main();
	return 0;
}