E 洛谷 P3598 Koishi Loves Number Theory[数论]

题目描述

Koishi十分喜欢数论。

她的朋友Flandre为了检测她和数论是不是真爱，给了她一个问题。

已知

给定和个数，求对取模。

按照套路，呆萌的Koishi当然假装不会做了，于是她来向你请教这个问题，希望你能在秒内给她答案。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数和，接下来一行个整数表示。

输出格式：

一个整数，表示答案

输入输出样例

输入样例#1：

3 5
1 2 4 5 0

输出样例#1：

44044

说明

表示若干个数的最小公倍数

对于10%的数据：

对于另外20%的数据：

对于另外30%的数据：

对于另外40%的数据：

---

标解：

先列两个结论

• 

• 

结论1可以考虑辗转相除法证明，结论2可以考虑lcm的积性求质因子贡献，这里不详细展开。

 的范围很大，但它们的  数量很少。开一个map维护每个gcd和它的贡献就没了啊。

这两个结论怎么想出来啊啊啊啊

实现上好难，去请教了WerkeyTom_FTD %%%

就是用个map维护a的每个gcd出现的次数(上-下)，加入一个数时，(a[i]+1)++，用a[i]+1与当前map里的gcd求gcd，次数取反就行了，然后更新答案

这里的x很大，所以一读入先%MOD;WerkeyTom_FTD还提到有可能x-1在MOD意义下没有逆元，可以先全乘MOD然后再做

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=,MOD=1e9+;
inline ll read(){
    char c=getchar();ll x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-; c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-''; c=getchar();}
    return x*f;
}
ll x,n,a[N];
inline ll gcd(ll a,ll b){return b==?a:gcd(b,a%b);}
map<ll,ll> mp,t;
map<ll,ll>::iterator it;
ll Pow(ll a,ll b){
    ll ans=;
    for(;b;b>>=,a=a*a%MOD)
        if(b&) ans=ans*a%MOD;
    return ans;
}
ll Inv(ll a){return Pow(a,MOD-);}
ll ans=;
void solve(){
    for(int i=;i<=n;i++){ //printf("hi %d %d\n",i,a[i]);
        t[a[i]]++;
        ans=ans*(Pow(x,a[i])-)%MOD;//printf("ans %lld\n",ans);
        for(it=mp.begin();it!=mp.end();it++){
            ll _x=it->first,_y=it->second;
            t[_x]+=_y;
            ll nx=gcd(_x,a[i]),ny=-_y;
            //printf("lala %d %d   %d %d\n",_x,_y,nx,ny);
            t[nx]+=ny;
            if(ny>) ans=ans*Pow( Pow(x,nx)-, ny)%MOD;
            else ans=ans*Pow( Inv(Pow(x,nx)-), -ny)%MOD;
            //printf("ans %lld\n",ans);
        }
        swap(mp,t);t.clear();
    }
    ans=ans*Inv(x-)%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    x=read()%MOD;n=read();
    for(int i=;i<=n;i++) a[i]=read()+;
    solve();
    return ;
}