放一道数学题。

Description

  有n个小朋友坐成一圈,每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input

  第一行一个正整数n<=1000000,表示小朋友的个数.接下来n行,每行一个整数ai,表示第i个小朋友得到的糖果的颗数。

Output

  求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input

  4
  1
  2
  5
  4

Sample Output

  4

HINT

  n<=1000000,ai在int范围内。

Solution

  这道题也算是一个经典的绝对值最值模型吧。(小C会说刚拿到这道题拿费用流跑二分图匹配?)

  其实不要想着把一个地方的糖果搬到另一个地方去,我们要把题目化简:

  整个过程都可以看作是一个小朋友向相邻的小朋友传递/接受糖果,

  所以我们很自然地设pi为第i个小朋友向第i-1个(i+1亦可)小朋友传递的糖果数。pi可以为负(就变成了接收的糖果数)。

  所以我们要使答案最小。

  重点来了!看到求绝对值之和最小的式子,根据我们的知识储备,我们推测它和中位数有关。

  可是这里面有n个变量,我们要想办法把它化成只含一个变量的式子。我们开始推式子:

  设ai的平均数为aver,我们有(显而易见的)n个等式:

      ······①

      ······②

    ……

    

  我们观察到,p2其实就是p1加上一个常数;而p3又是p2加上一个常数,所以p3就是p1加上一个常数!

  同理p1~pn都可以用形如p1+d(d为常数)的式子来表示。

  所以设,所以我们只要求的最小值!

  这时候就可以用到我们的知识储备,p1只要取di的中位数的相反数就可以使答案最小!

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define MN 1000005
using namespace std;
int n;
ll a[MN],b[MN],sum,lt,ans; inline int read()
{
int n=,f=; char c=getchar();
while (c<'' || c>'') {if(c=='-')f=-; c=getchar();}
while (c>='' && c<='') {n=n*+c-''; c=getchar();}
return n*f;
} int main()
{
register int i;
n=read();
for (i=;i<=n;++i) sum+=a[i]=read();
sum/=n;
for (i=;i<n;++i) b[i+]=b[i]+sum-a[i];
sort(b+,b+n+);
lt=-b[n+>>];
for (i=;i<=n;++i) ans+=abs(lt+b[i]);
printf("%lld",ans);
}

Last Word

  关于数学的最值问题,这种题型只是其中之一,小C以后见到了可能还会继续更新。

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