Loj #3089. 「BJOI2019」奥术神杖

Loj #3089. 「BJOI2019」奥术神杖

题目描述

Bezorath 大陆抵抗地灾军团入侵的战争进入了僵持的阶段，世世代代生活在 Bezorath 这片大陆的精灵们开始寻找远古时代诸神遗留的神器，试图借助神器的神秘

力量帮助她们战胜地灾军团。

在付出了惨痛的代价后，精灵们从步步凶险的远古战场取回了一件保存尚完好的神杖。但在经历过那场所有史书都视为禁忌的“诸神黄昏之战”后，神杖上镶嵌的奥术宝石

已经残缺，神力也几乎消耗殆尽。精灵高层在至高会议中决定以举国之力收集残存至今的奥术宝石，并重金悬赏天下能工巧匠修复这件神杖。

你作为神术一脉第五百零一位传人，接受了这个艰巨而神圣的使命。 神杖上从左到右镶嵌了 \(n\) 颗奥术宝石，奥术宝石一共有 \(10\) 种，用数字 0123456789

表示。有些位置的宝石已经残缺，用 . 表示，你需要用完好的奥术宝石填补每一处残缺的部分（每种奥术宝石个数不限，且不能够更换未残缺的宝石）。古老的魔法

书上记载了 \(m\) 种咒语 \((S_i,V_i)\)，其中 \(S_i\) 是一个非空数字串，\(V_i\) 是这种组合能够激发的神力。

神杖的初始神力值 \(\mathrm{Magic} = 1\)，每当神杖中出现了连续一段宝石与 \(S_i\) 相等时，神力值 \(\mathrm{Magic}\) 就会乘以 \(V_i\)。但神杖如果包含

了太多咒语就不再纯净导致神力降低：设 \(c\) 为神杖包含的咒语个数（若咒语类别相同但出现位置不同视为多次），神杖最终的神力值为 \(\sqrt[c]{\mathrm{Magic}}\)。（若 \(c = 0\) 则神杖最终神力值为 \(1\)。）

例如有两种咒语 \((01,3)\) 、\((10,4)\)，那么神杖 0101 的神力值为 \(\sqrt[3]{ 3 \times 4 \times 3}\)。

输入格式

第一行两个正整数 \(n,m\)，表示宝石数和咒语数。

第二行为一个长度为 \(n\) 的字符串 \(T\)，表示初始的神杖。

接下来 \(m\) 行每行一个非空数字串 \(S_i\) 和一个正整数 \(V_i\)，表示每种咒语。

输出格式

输出最终神杖上从左到右镶嵌的宝石，多解时任意输出一个即可。

数据范围与提示

\(n,\sum_{i=1}^m|S_i|\leq 150\)。\(V_i\leq 10^9\)

\(\\\)

首先将答案取一个对数，

\[\displaystyle
\log_2^{\sqrt[c]{\prod_{i=1}^c V_i}}=\frac{\sum_{i=1}^c\log_2^{V_i}}{c}
\]

要求最大化\(\frac{\sum_{i=1}^c V_i}{c}\)就是裸的\(0/1\)分数规划问题（我竟然没看出来，真是越来越zz了）。具体实现时在\(AC\)自动机上\(DP\)就好了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 1505
#define eps 1e-8

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m;
char s[N],t[N];

struct trie {
	int ch[10];
	int cnt,fail;
	double sum;
}tr[N];

int cnt=1;
void Insert(char *s,double val) {
	int len=strlen(s+1);
	int v=1;
	for(int i=1;i<=len;i++) {
		int j=s[i]-'0';
		if(!tr[v].ch[j]) tr[v].ch[j]=++cnt;
		v=tr[v].ch[j];
	}
	tr[v].cnt++;
	tr[v].sum+=val;
}

void build_fail() {
	static queue<int>q;
	for(int i=0;i<10;i++) {
		if(!tr[1].ch[i]) tr[1].ch[i]=1;
		else {
			tr[tr[1].ch[i]].fail=1;
			q.push(tr[1].ch[i]);
		}
	}
	while(!q.empty()) {
		int v=q.front();
		q.pop();
		tr[v].cnt+=tr[tr[v].fail].cnt;
		tr[v].sum+=tr[tr[v].fail].sum;
		for(int i=0;i<10;i++) {
			if(!tr[v].ch[i]) tr[v].ch[i]=tr[tr[v].fail].ch[i];
			else {
				int sn=tr[v].ch[i];
				tr[sn].fail=tr[tr[v].fail].ch[i];
				q.push(sn);
			}
		}
	}
}

double f[N][N];
double tag[N];
struct node {
	int x,y,type;
	node() {}
	node(int _x,int _y,int _type) {
		x=_x,y=_y,type=_type;
	}
};

node fr[N][N];
bool chk(double ans) {
	for(int i=1;i<=cnt;i++) tag[i]=tr[i].sum-tr[i].cnt*ans;
	for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
			f[i][j]=-1e9;
	f[0][1]=0;
	for(int i=0;i<n;i++) {
		for(int j=1;j<=cnt;j++) {
			if(f[i][j]<-1e6) continue ;
			if(s[i+1]=='.') {
				for(int k=0;k<10;k++) {
					int q=tr[j].ch[k];
					if(f[i][j]+tag[q]>f[i+1][q]) {
						f[i+1][q]=f[i][j]+tag[q];
						fr[i+1][q]=node(i,j,k);
					}
				}
			} else {
				int q=tr[j].ch[s[i+1]-'0'];
				if(f[i][j]+tag[q]>f[i+1][q]) {
					f[i+1][q]=f[i][j]+tag[q];
					fr[i+1][q]=node(i,j,s[i+1]-'0');
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++) if(f[n][i]>0) return 1;
	return 0;
}

void out(int x,int y) {
	if(!x) return ;
	out(fr[x][y].x,fr[x][y].y);
	cout<<fr[x][y].type;
}

int main() {
	n=Get(),m=Get();
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%s",t+1);
		double v=Get();
		Insert(t,log2(v));
	}
	build_fail();
	double l=0,r=100,mid;
	while(l+eps<r) {
		mid=(l+r)/2.0;
		if(chk(mid)) l=mid;
		else r=mid-eps;
	}
	chk(l);
	for(int i=1;i<=cnt;i++) {
		if(f[n][i]>0) {
			out(n,i);
			break ;
		}
	}
	return 0;
}