ARC101E题解

前言

此片题解大致按照笔者做题思路进行讲解。

简要题意

有一棵树，树上有偶数个节点。你需要给这些点两两配对，一组已经配对的点会将两点之间的树边进行一次覆盖。一组合法方案需要满足树上所有边都被覆盖至少一次，求合法方案数。

数据范围：\(n\le5000\)。

思路

首先我们去观察题目性质，发现没有什么特殊的地方。我最开始只想到一个非常暴力的 \(dp\)，设 \(f_{u,i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树内有 \(i\) 个点已经匹配好的方案数。但是当我去考虑转移时，我发现他有很多种情况：

1. \(u\) 一个儿子的子树内互相匹配，但是需要有一个点与外面的点匹配（不然这个子树与 \(u\) 之间的边就无法被覆盖）；
2. 一个子树内的点向 \(u\) 的其他子树匹配；
3. 一个子树的点向 \(u\) 子树以外的点匹配。

或许还有一些没有罗列出来，但反正就是不可做。于是我们正难则反，考虑先求出不合法的情况，然后容斥做。

题解

如何求不合法的情况呢？我们可以通过钦定一些边不覆盖来容斥。比如当我计算到以 \(u\) 为根的子树时，我就去枚举 \(u\) 所在的连通块的大小，对于一个 \(u\) 的儿子 \(v\)，分讨一下连通块是否包括 \(v\)。

具体的，我们设 \(f_{u,i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树，\(u\) 所在连通块大小为 \(i\) 的方案数。对于 \(v\) 在连通块的时候，有转移：

\[f_{u,i-j}\times f_{v,j}\rightarrow f_{u,i},v\in{\operatorname{son}_u,j<i}
\]

若 \(v\) 与 \(u\) 之间的边不覆盖，则有：

\[f_{u,i}\times f_{v,j}\rightarrow f_{u,i+j}
\]

你乍一看这不就是树上背包吗？时间复杂度 \(O(n^2)\)，可以通过此题！

现在我们已经基本找出状态转移的方程，但现在我们还需要思考一个问题：

一个点数为 \(k\) 的连通块，将里面的点不重不漏两两匹配的方案数

首先对于 \(k\) 为奇数的时候是无贡献的；所以只用考虑 \(k\) 为偶数的情况。考虑递推求解答案，设 \(s_k\) 表示点数为 \(k\) 的贡献。对于一个点，我有 \(k - 1\) 种选择方案，而剩下的 \(k-2\) 个点的方案是 \(s_{k-2}\)，固可得递推式：\(s_{k}=(k-1)\times s_{k-2}\)。

但考虑到我们只是没有考虑这些方案中会有的不合法情况，所以需要稍微容斥一下，在转移的时候还需要给一个 \((-1)^k\)。

然后看到之前的 \(dp\)，我们发现对于第一种情况合并两个连通块似乎不好计算方案，于是我们改写状态，设 \(f_{u,i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树，\(u\) 所在连通块大小为 \(i\) 时不考虑 \(u\) 所在连通块中匹配情况的方案数，这样在合并两个连通块时我们就直接把系数乘上就行，所以最后第一种情况的转移式为：

\[f_{u,i}\leftarrow f_{u,i-j}\times f_{v,j}\times(-s_i)
\]

最后答案就是 \(\sum\limits_{i}f_{1, i}\times s_i\)。

代码

void dfs(int u, int fa){
    sz[u] = f[u][1] = 1;
    for(int i = hd[u]; i; i = e[i].nxt){
        int v = e[i].to; if(v == fa)continue;
        dfs(v, u); copy(f[u], f[u] + 1 + sz[u], g);
        fill(f[u], f[u] + 1 + sz[u], 0);
        for(int j = 1; j <= sz[u]; ++j)for(int k = 1; k <= sz[v]; ++k)
            f[u][j] = del(f[u][j], mul(mul(f[v][k], s[k]), g[j])),
            f[u][j + k] = add(f[u][j + k], mul(g[j], f[v][k]));
        sz[u] += sz[v];
    }
}