洛谷 P1967 [NOIP 2013 提高组] 货车运输 题解

原题链接：货车运输

kruskal重构树+LCA做法，树剖不想写

很容易发现原图跑最短路可以解，但是复杂度难以承受，所以考虑如何简化该图。

发现原图边权维护的应该是（u，v）的最小值，并且最优选择是这个最小值最大，所以如果有多条（u，v),只保留最大的没有影响，如果我们维护一棵最大生成树就一定包含（u，v）的最优解。这一部分可以用kruskal重构树。

然后考虑对于这棵树，如何求（u，v）路径上的最小值。

对于一棵树（u，v）是确定的唯一路径，我们可以发现可以把（u，v）拆成两条从LCA（u，v)到u和v的链，最后对它们取min。暴力的做法可以从u，分别上跳直到找到LCA（u，v），时间复杂度O（n），难以承受，所以用倍增LCA，同时维护一个数组st，st[i][j]表示i节点到i的2^j辈祖宗节点这条链的min，我们在求min（（i，LCA））时，发现可以通过类似LCA算法中将x，y深度拉平的方法，不断上跳使i逼近LCA，期间用每一条短链更新答案，最终求出min（（i，LCA）），最后合并两条链答案即可。时间复杂度O(nlogn)，可以接受。

AC代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int const N=1e4+10,M=5e4+10;
int p[N];
struct node{
	int u,v;
	int w;
	bool flag;
}tree[M];
int h[N],nx[M],to[M],vl[M],idx=1;
int n,m;
int deep[N],st[N][21],anst[N][21];

bool cmp(node a,node b)
{
	return a.w>b.w;
}

int find(int x)
{
	if(p[x]==x) return x;
	p[x]=find(p[x]);
	return p[x];
}

void kruskal(){
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
	sort(tree+1,tree+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=tree[i].u,v=tree[i].v;
		int root1=find(u),root2=find(v);
		if(root1!=root2)
		{
			p[root1]=root2;
			tree[i].flag=1;
		}
	}
}

inline void add(int u,int v,int w)
{
	to[idx]=v;
	nx[idx]=h[u];
	vl[idx]=w;
	h[u]=idx++;
}

void dfs(int u,int fa)
{
	if(u==0) anst[u][0]=0;
	else anst[u][0]=fa;
	if(u==0) deep[u]=0;
	else deep[u]=deep[fa]+1;
	//预处理祖先节点，st数组
	for(int i=h[u];i;i=nx[i])
	{
		int v=to[i],w=vl[i];
		if(v==fa) continue;
		st[v][0]=w;
		dfs(v,u);
	}
}

void first()//LCA算法的预处理
{
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			anst[i][j]=anst[anst[i][j-1]][j-1];
		}
	}
}

int lca(int x,int y)
{

	if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
	int d=deep[x]-deep[y];
	for(int i=0;(1<<i)<=d;i++)
	{
		if((1<<i) & d)
		x=anst[x][i];
	}
	if(x==y) return x;

	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(anst[x][i]!=anst[y][i])
		{
			x=anst[x][i];
			y=anst[y][i];
		}
		if(anst[x][0]==anst[y][0]) break;
	}
	return anst[x][0];
}

void RMQ()//预处理st数组
{
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			st[i][j]=min(st[i][j-1],st[anst[i][j-1]][j-1]);
		}
	}
}

int check(int fa,int v)//计算子节点到LCA的一条链的min
{
	int d=deep[v]-deep[fa];
	int mn=INT_MAX;
	for(int j=0;(1<<j)<=d;j++)
	{
		if((1<<j) & d)
		{
			mn=min(mn,st[v][j]);
			v=anst[v][j];
		}
	}
	return mn;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		tree[i].u=u;
		tree[i].v=v;
		tree[i].w=w;
	}
	kruskal();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(!tree[i].flag) continue;
		int u=tree[i].u,v=tree[i].v,w=tree[i].w;
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(p[i]==i) add(0,i,0);
	}//可能是森林，所以需要建立虚拟节点连接，方便DFS 

	dfs(0,-1);
	first();
	RMQ();
	int q;
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		int fa=lca(x,y);
		if(fa==0) cout<<-1<<endl;//如果LCA是虚拟节点就说明不连通
		else printf("%d\n",min(check(fa,x),check(fa,y)));
	}
	return 0;
}

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