Hack 说明

在今天的模拟赛中，部分同学由于对出现某个数在模 \(1000000007\) 意义下为 \(0\) 的情况不规范被 Hack。

Hack 原理：开始时有 \(2\) 个 \(1\)，先都加到 \(1000000001\)，然后一个一个加 \(8\) 次虽然加 \(7\) 次足以 Hack，这个时候如果对 \(1000000007\) 处理不好，可能后面都变成 \(0\)。

我的方案：考虑两个性质（按照题解）:

1. \(2\) 操作到 \(1000000007\) 的倍数（分子为 \(0\)）只可能是 \(1000000007\)，也就是说每个位置至多出现一次分子或分母为 \(0\)。
2. 分母为 \(0\) 的上一步同样位置的 \(2\) 操作中一定分子为 \(0\)，因为分母为 \(0\) 时必定出过 \(a_i=1000000007\)。（我可能给之前的同学解释错了，因为可能出现 \(3\) 操作使得分子分母为 \(0\) 的 \(2\) 操作之间夹着几个，但也无伤大雅，这里致以诚挚歉意）。

综上所述，考虑记录每个位置上一次的分子为 \(0\) 位置，维护一个指针指向当前更新到的点。遇到分子为 \(0\) 的值，停止维护，输出答案一定为 \(0\)。遇到分母为 \(0\)，找到对应分子为 \(0\) 的位置，合并两个分数：将后者的分子赋给前者，后者置为 \(1\)，这样保证后面的值都是对的。指针继续往下跳转，直到遇到下一个分子为 \(0\) 的数。

以 Hack 数据为例，最后几个数为 \(\frac{0}{1000000006},\frac{0}{1000000006},\frac{1}{0},\frac{1}{0}\cdots\)，位置分别在 \(1,2,1,2\cdots\)，扫到第一、二个数停止更新，输出 \(0\)。扫到第三个数，将第一个数变成 \(\frac{1}{1000000006}\)，第三个数变为 \(1\)，往下更新到第二个数处。扫到第四个数，同理更新，此时可以更新到第四个数。

upd：好像还把精度卡了，PEP \(10^{-15}\) 的 eps 没过....我的代码用的分数类。

附：数据，我的代码