Fermat

[KPCTF 2024]ez_fermat

from Crypto.Util.number import *

p = getPrime(1024)
q = getPrime(813)
n = p * q
d = p
e = inverse(d, (p-1)*(q-1))
flag = b'NSSCTF{S0_E@z6_feRM@T_padpadpading}'
m = bytes_to_long(flag)

print(n)
print()
print(e)
print()
print(pow(m, e, n))
'''
3904054379768621006670325403570678966655298185942026071119847032293541155818374237757771677885218395571231995625009566193044227004214661252741440763224075564545575267406326084344024197161667257443366163987563451174836819677982948383967049594961135059796888603091106117040559333549933923156522162926214187395074971581109581699786654634096916190024297067217856502521108656019066292650847674105723870976455422998577177791829507752873186832882421485628003948270492309102429874674621180956748281541598316433735992507502375267828628254040129556944239703219983

3346908455447174070992347616941127803725226412626643481301959623252314393488983877743239835001359838967907152394787518896740138558902876270534420306764838402995141451795721684856954259250045263865518237097216558225597879130005447703355004165638668981119439658709484546611239237700677748062521167324245405513546072909746940831890185954341722008854937777778339786187857409646068034455661780649005707291091511164030224458109751999287771088477121459794784223018351072171477613383398898036040202088356029117418211176259340287391200019380649219787316637601225

2297172673207318067644454311791059052521405524072070001463617943081937620680287073877519555417893924987805372814004437226029332185689205902364556330396100859963867726856821821201929153299863158902425114650689181400700850662495351899097507167512372167222348638943031627163322963150031484905075884684966357856735997039021272911282595603222713567742142545540368250995582560658624441813641267178033998653769097632742521154569310435572740012678651074392991522280691458449892215626597146075598152312643598829814235896873342805258450617148747956353285414172796'''

很明显有

\[e * p \equiv 1\ (mod\ phi)
\]

所以\(e *p \equiv 1 + k * phi\\\)由欧拉定理，有

\[2 ^ {e*p}\equiv 2^{(1 + k * phi)}\equiv 2\ (mod\ n)\\
\]

转化到模p意义下并由费马小定理，得

\[2 ^ e \equiv 2\ (mod\ p)\\
\]

\[所以2 ^ e -2\equiv k * p\ (mod\ n)
\]

则

\[p = gcd(2 ^ e - 2,\ n)
\]

exp：

from Crypto.Util.number import inverse, long_to_bytes
from gmpy2 import gcd

c = 2297172673207318067644454311791059052521405524072070001463617943081937620680287073877519555417893924987805372814004437226029332185689205902364556330396100859963867726856821821201929153299863158902425114650689181400700850662495351899097507167512372167222348638943031627163322963150031484905075884684966357856735997039021272911282595603222713567742142545540368250995582560658624441813641267178033998653769097632742521154569310435572740012678651074392991522280691458449892215626597146075598152312643598829814235896873342805258450617148747956353285414172796
n = 3904054379768621006670325403570678966655298185942026071119847032293541155818374237757771677885218395571231995625009566193044227004214661252741440763224075564545575267406326084344024197161667257443366163987563451174836819677982948383967049594961135059796888603091106117040559333549933923156522162926214187395074971581109581699786654634096916190024297067217856502521108656019066292650847674105723870976455422998577177791829507752873186832882421485628003948270492309102429874674621180956748281541598316433735992507502375267828628254040129556944239703219983
e = 3346908455447174070992347616941127803725226412626643481301959623252314393488983877743239835001359838967907152394787518896740138558902876270534420306764838402995141451795721684856954259250045263865518237097216558225597879130005447703355004165638668981119439658709484546611239237700677748062521167324245405513546072909746940831890185954341722008854937777778339786187857409646068034455661780649005707291091511164030224458109751999287771088477121459794784223018351072171477613383398898036040202088356029117418211176259340287391200019380649219787316637601225
p = gcd(pow(2, e, n) - 2, n)
q = n // p
phi = (p - 1) * (q - 1)
d = inverse(e, phi)
print(long_to_bytes(pow(c, d, n)))#b'NSSCTF{S0_E@z6_feRM@T_padpadpading}'

[祥云杯 2022]little little fermat

task.py

from Crypto.Util.number import *
from random import *
from libnum import *
import gmpy2
from secret import x

flag = b'?????????'
m = bytes_to_long(flag)
def obfuscate(p, k):
    nbit = p.bit_length()
    while True:
        l1 = [getRandomRange(-1, 1) for _ in '_' * k]
        l2 = [getRandomRange(100, nbit) for _ in '_' * k]
        l3 = [getRandomRange(10, nbit//4) for _ in '_' * k]
        l4 = [getRandomRange(2, 6) for _ in '_' *k]
        A = sum([l1[_] * 2 ** ((l2[_]+l3[_])//l4[_]) for _ in range(0, k)])
        q = p + A
        if isPrime(q) * A != 0:
            return q

p = getPrime(512)
q = obfuscate(p, 5)
e = 65537
n = p*q
print(f'n = {n}')

assert 114514 ** x % p == 1
m = m ^ (x**2)
c = pow(m, e, n)
print(f'c = {c}')

'''
n = 141321067325716426375483506915224930097246865960474155069040176356860707435540270911081589751471783519639996589589495877214497196498978453005154272785048418715013714419926299248566038773669282170912502161620702945933984680880287757862837880474184004082619880793733517191297469980246315623924571332042031367393
c = 81368762831358980348757303940178994718818656679774450300533215016117959412236853310026456227434535301960147956843664862777300751319650636299943068620007067063945453310992828498083556205352025638600643137849563080996797888503027153527315524658003251767187427382796451974118362546507788854349086917112114926883
'''

\[x=p-1
\]

exp

先用yafu分解n

import gmpy2
from Crypto.Util.number import long_to_bytes

p = 11887853772894265642834649929578157180848240939084164222334476057487485972806971092902627112665734648016476153593841839977704512156756634066593725142934001
q = 11887853772894265642834649929578157180848240939084164222334476057487485972806971092902627112665734646483980612727952939084061619889139517526028673988305393
n = 141321067325716426375483506915224930097246865960474155069040176356860707435540270911081589751471783519639996589589495877214497196498978453005154272785048418715013714419926299248566038773669282170912502161620702945933984680880287757862837880474184004082619880793733517191297469980246315623924571332042031367393
c = 81368762831358980348757303940178994718818656679774450300533215016117959412236853310026456227434535301960147956843664862777300751319650636299943068620007067063945453310992828498083556205352025638600643137849563080996797888503027153527315524658003251767187427382796451974118362546507788854349086917112114926883
e=65537
d=gmpy2.invert(e,(p-1)*(q-1))
x=p-1
m =pow(c,d,n)
m=m^(x**2)
print(long_to_bytes(m))

[东华杯 2021]fermat's revenge

task.py

from Crypto.Util.number import *
f = open('flag.txt', 'rb')
m = bytes_to_long(f.read())
f.close()
e = 65537
p = getPrime(1024)
q = getPrime(1024)
n = p * q
c = pow(m, e, n)
hint = pow(1010 * p + 1011, q, n)
f = open('cipher.txt', 'w')
f.write(f'n={n}\n')
f.write(f'c={c}\n')
f.write(f'hint={hint}\n')
f.close()

对于\((1010*p+1011)^q%n\)进行二项式展开并模p

\[hint=(1011)^q\ mod\ p\\
\]

\[hint^p=(1011)^n\ mod \ p\\
\]

\[hint^p=(1011)^n+kp\ mod\ n\\
\]

\[hint^p=hint\ mod\ p\ \ (Fermat's\ law)
\]

所以\(gcd((1011)^nmod\ n-hint,n)=p\)

exp

from Crypto.Util.number import *
import gmpy2
n=17329555687339057933030881774167606066714011664369940819755094697939414110116183129515036417930928381309923593306884879686961969722610261114896200690291299753284120079351636102685226435454462581742248968732979816910255384339882675593423385529925794918175056364069416358095759362865710837992174966213332948216626442765218056059227797575954980861175262821459941222980957749720949816909119263643425681517545937122980872133309062049836920463547302193585676588711888598357927574729648088370609421283416559346827315399049239357814820660913395553316721927867556418628117971385375472454118148999848258824753064992040468588511
c=2834445728359401954509180010018035151637121735110411504246937217024301211768483790406570069340718976013805438660602396212488675995602673107853878297024467687865600759709655334014269938893756460638324659859693599161639448736859952750381592192404889795107146077421499823006298655812398359841137631684363428490100792619658995661630533920917942659455792050032138051272224911869438429703875012535681896010735974555495618216882831524578648074539796556404193333636537331833807459066576022732553707927018332334884641370339471969967359580724737784159811992637384360752274204462169330081579501038904830207691558009918736480389
hint=2528640120640884291705022551567142949735065756834488816429783990402901687493207894594113717734719036126087363828359113769238235697788243950392064194097056579105620723640796253143555383311882778423540515270957452851097267592400001145658904042191937942341842865936546187498072576943297002184798413336701918670376291021190387536660070933700475110660304652647893127663882847145502396993549034428649569475467365756381857116208029508389607872560487325166953770793357700419069480517845456083758105937644350450559733949764193599564499133714282286339445501435278957250603141596679797055178139335763901195697988437542180256184
h1=pow(1011,n,n)
h2=h1-hint
p=gmpy2.gcd(h2,n)
q=n//p
phi=(p-1)*(q-1)
e=65537
d= gmpy2.invert(e,phi)
print(long_to_bytes(pow(c,d,n)))

[NCTF2019]childRSA

task.py

from random import choice
from Crypto.Util.number import isPrime, sieve_base as primes
from flag import flag

def getPrime(bits):
    while True:
        n = 2
        while n.bit_length() < bits:
            n *= choice(primes)
        if isPrime(n + 1):
            return n + 1

e = 0x10001
m = int.from_bytes(flag.encode(), 'big')
p, q = [getPrime(2048) for _ in range(2)]
n = p * q
c = pow(m, e, n)

# n = 32849718197337581823002243717057659218502519004386996660885100592872201948834155543125924395614928962750579667346279456710633774501407292473006312537723894221717638059058796679686953564471994009285384798450493756900459225040360430847240975678450171551048783818642467506711424027848778367427338647282428667393241157151675410661015044633282064056800913282016363415202171926089293431012379261585078566301060173689328363696699811123592090204578098276704877408688525618732848817623879899628629300385790344366046641825507767709276622692835393219811283244303899850483748651722336996164724553364097066493953127153066970594638491950199605713033004684970381605908909693802373826516622872100822213645899846325022476318425889580091613323747640467299866189070780620292627043349618839126919699862580579994887507733838561768581933029077488033326056066378869170169389819542928899483936705521710423905128732013121538495096959944889076705471928490092476616709838980562233255542325528398956185421193665359897664110835645928646616337700617883946369110702443135980068553511927115723157704586595844927607636003501038871748639417378062348085980873502535098755568810971926925447913858894180171498580131088992227637341857123607600275137768132347158657063692388249513
# c = 26308018356739853895382240109968894175166731283702927002165268998773708335216338997058314157717147131083296551313334042509806229853341488461087009955203854253313827608275460592785607739091992591431080342664081962030557042784864074533380701014585315663218783130162376176094773010478159362434331787279303302718098735574605469803801873109982473258207444342330633191849040553550708886593340770753064322410889048135425025715982196600650740987076486540674090923181664281515197679745907830107684777248532278645343716263686014941081417914622724906314960249945105011301731247324601620886782967217339340393853616450077105125391982689986178342417223392217085276465471102737594719932347242482670320801063191869471318313514407997326350065187904154229557706351355052446027159972546737213451422978211055778164578782156428466626894026103053360431281644645515155471301826844754338802352846095293421718249819728205538534652212984831283642472071669494851823123552827380737798609829706225744376667082534026874483482483127491533474306552210039386256062116345785870668331513725792053302188276682550672663353937781055621860101624242216671635824311412793495965628876036344731733142759495348248970313655381407241457118743532311394697763283681852908564387282605279108

这题yafu分解不行，有一妙计，就是求出前10000的质数乘积num

\(num\equiv 0\ mod\ (p-1)\)成立，由于(p-1)是质数

\[2^{(p-1)}\equiv 1\ (mod\ p)
\]

那么

\[2^{k*(p-1)}\equiv 1(mod\ p)
\]

所以\(2^{num}-1=k*p\),可以参照前面做法\(gcd(2^{num}-1,n)\)来求

exp

from Crypto.Util.number import isPrime, sieve_base as primes,long_to_bytes
import gmpy2

e = 65537
n = 32849718197337581823002243717057659218502519004386996660885100592872201948834155543125924395614928962750579667346279456710633774501407292473006312537723894221717638059058796679686953564471994009285384798450493756900459225040360430847240975678450171551048783818642467506711424027848778367427338647282428667393241157151675410661015044633282064056800913282016363415202171926089293431012379261585078566301060173689328363696699811123592090204578098276704877408688525618732848817623879899628629300385790344366046641825507767709276622692835393219811283244303899850483748651722336996164724553364097066493953127153066970594638491950199605713033004684970381605908909693802373826516622872100822213645899846325022476318425889580091613323747640467299866189070780620292627043349618839126919699862580579994887507733838561768581933029077488033326056066378869170169389819542928899483936705521710423905128732013121538495096959944889076705471928490092476616709838980562233255542325528398956185421193665359897664110835645928646616337700617883946369110702443135980068553511927115723157704586595844927607636003501038871748639417378062348085980873502535098755568810971926925447913858894180171498580131088992227637341857123607600275137768132347158657063692388249513
c = 26308018356739853895382240109968894175166731283702927002165268998773708335216338997058314157717147131083296551313334042509806229853341488461087009955203854253313827608275460592785607739091992591431080342664081962030557042784864074533380701014585315663218783130162376176094773010478159362434331787279303302718098735574605469803801873109982473258207444342330633191849040553550708886593340770753064322410889048135425025715982196600650740987076486540674090923181664281515197679745907830107684777248532278645343716263686014941081417914622724906314960249945105011301731247324601620886782967217339340393853616450077105125391982689986178342417223392217085276465471102737594719932347242482670320801063191869471318313514407997326350065187904154229557706351355052446027159972546737213451422978211055778164578782156428466626894026103053360431281644645515155471301826844754338802352846095293421718249819728205538534652212984831283642472071669494851823123552827380737798609829706225744376667082534026874483482483127491533474306552210039386256062116345785870668331513725792053302188276682550672663353937781055621860101624242216671635824311412793495965628876036344731733142759495348248970313655381407241457118743532311394697763283681852908564387282605279108

num=1
for i in primes:
    num*=i
p=gmpy2.gcd(gmpy2.powmod(2,num,n)-1,n)
q=n//p
d=gmpy2.invert(e,(p-1)*(q-1))
m=gmpy2.powmod(c,d,n)

print(long_to_bytes(m))