【题意】数列满足an=an-1+an-2,n>=3。现在a1=i,a2=[l,r],要求满足ak%p=m的整数a2有多少个。10^18。

【算法】数论(扩欧)+矩阵快速幂

【题解】定义fib(i)表示第 i 个斐波那契数,将数列an列项观察容易发现ak=a1*fib(k-2)+a2*fib(k-1)。fib(i)可以用矩阵快速幂迅速得解。

现在实际已知ak%p,a1,fib(k-2),fib(k-1),令a=fib(k-1),b=m-i*fib(k-2),x=a2,则方程转化为:ax≡b(%p),求解x=[l,r]的整数解。

运用扩展欧几里得定理求解即可,下面展示具体细节:

1.转化为不定方程,ax-py=b。

2.g=gcd(a,p),若b%p≠0则无解(输出0)。

3.a/=g;p/=g;b/=g;

4.求解a'x-b'y=1即exgcd(a,p,x,y),得到x0=x*b。

5.得到最小非负整数解x(这是为了防止x0>l)

6.计算在[l,r]之间的解,calc(r,x)=(r-b)%p+1。

注意:

1.读入 i 后取模。

2.先算原解x0,再扩展。

3.namespace中任何元素都不能重名。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll x1,l,r,k,m;
int p;
int MOD(int x){return x>=p?x-p:x;}
namespace fib{
int ans[][],tmp[][],c[][];
void mul(int a[][],int b[][]){
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<;j++){
c[i][j]=;
for(int k=;k<;k++)
c[i][j]=MOD(c[i][j]+1ll*a[i][k]*b[k][j]%p);
}
for(int i=;i<;i++)for(int j=;j<;j++)a[i][j]=c[i][j];
}
int f(ll x){
x--;
ans[][]=;ans[][]=ans[][]=ans[][]=;
tmp[][]=tmp[][]=tmp[][]=;tmp[][]=;
while(x){
if(x&)mul(ans,tmp);
mul(tmp,tmp);
x>>=;
}
return ans[][];
}
}
int M(ll x){return (x%p+p)%p;}
void exgcd(int a,int b,int& x,int& y){
if(!b){x=;y=;}
else{exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll calc(ll r,int x){return r<x?:(r-x)/p+;}
int main(){
int T;scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%lld%lld%lld%lld%d%lld",&x1,&l,&r,&k,&p,&m);//x1%p!!!
int b=M(m-x1%p*fib::f(k-)),a=fib::f(k-),x,y;
int g=gcd(a,p);
if(b%g){printf("0\n");continue;}
a/=g;b/=g;p/=g;
exgcd(a,p,x,y);
x=M(1ll*x*b);//M(1ll*x*b)!!!
printf("%lld\n",calc(r,x)-calc(l-,x));
}
return ;
}

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