Project Euler 001-006 解法总结

Problem 1.

Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000.

  题目要求找出所有1000以下的3或者5的倍数之和。

  最简便的方法是，计算出1000以下总共有多少个3、5、15的倍数，然后用等差数列求三种数分别之和，最后3、5的倍数和减去15的倍数和就得到了结果。

  NOte：这是因为15的倍数多算了一遍，所以要减去。

Problem 2

Find the sum of all the even-valued terms in the Fibonacci sequence which do not exceed four million.

  题目要求找出斐波那契数列中偶数之和。

  我的方法是，斐波那契数列每三个连续的数中有一个为偶数，计算斐波那契数时用一个长度为3的数据完成缓存，每次循环完成三个数的更新，即计算三次斐波那契数，取偶数位相加即可。

  最简便的方法是，既然没三个连续数就有一个为偶数，那个可以推出连续的三个偶数斐波那契数之间的关系，这样就可以用长度为2的数据完成计算，而且计算量减少很多。

Problem 3

Find the largest prime factor of a composite number

  题目要求找出一个数的最大质因子。

  我的方法是，首先除以所有为2的质因子，然后从3到sqrt(n)依次找出质因子。排序得到最大的，应该用遍历法得到。过程中参考了CSDN的一篇剪枝的方法（回退法除以所有同一个质因子）。

Problem 4

Find the largest palindrome made from the product of two 3-digit numbers.

  题目要求找出能分解为两个三位数相乘的最大回文数。

  我的方法是，判断是否为回文数把每一位都提取出来，看前后是否相等。然后按照因此从999到100遍历啊和b的乘积判断是否为回文数，避免重复。找到第一个回文数后，计算出还有可能的a、b是多少，然后再次遍历。最后对遍历的结果取最大值。

  最简便的方法是，在上述方法的基础上，经过分析知道这个回文数一定是11的倍数，因为11是质数，则a或b必须为质数。在遍历时，可以判断出a不是11的倍数时b的可能值范围变成原来的1/11，运算量大大减少。

Problem 5

What is the smallest number divisible by each of the numbers 1 to 20?

  题目要求找出1~20的最小公倍数。

  我的方法是首先用费马方法实现最大公因子gcd的计算。然后从大到小依次计算前者最小公倍数与下一个数的最小公因子，然后得到所有数的最小公倍数。

  最简单的方法是，对这个公倍数进行分析，必然是小于k的一系列质数的乘积。如果知道质数表，那么对于每一个小于k的质数为底计算floor(log)，然后把所有这些质数的幂相乘就得到了最小公倍数。可以优化的一点是，对于大于sqrt(k)的质数，已经不可能为1次以上的幂了，直接设幂指数为1即可。

Problem 6

What is the di erence between the sum of the squares and the square of the sums?

  题目要求算出和的平方与平方和的差。

  我的方法就是直接算，因为没有想到一种方法可以减少运算量。

  最简便的方式，是把求和用高斯的方法计算，即n*(n+1)/2，同样的，最好能得到平方和的计算公式。其实计算方法也很简单，假设为三次多项式，用前四个值（含0）来解出系数。也可以参考百度百科平方和的排列组合法。