Little Sub and Traveling(杭师大第十二届校赛E题) 欧拉回路
题目大意:
从0出发,每次只能跳到(i*2)%n或者(i*2+1)%n,求字典序最大的哈密顿回路。
思路:
首先n为奇数时无解,先来证明这一点。
先假设n为奇数,若要回到原点,则必定有一步是$a%n=0$,则$a=kn(k为整数)$。
我们先假设a是通过$2x$的方式得到的,即$kn=2*x$,由于此时$n$为奇数,则k必定为偶数,由于$n>x$,所以$k<2$,k又不能等于0,所以此时k无解,a不是通过$s*x$的方法得到的
那么$kn=2*x+1$,k为奇数,则$k=1 ,a=n=2*x+1$,也就是说,我们从x出发的这一步,是走到0的位置的,那么$2*x$这一步,就没有点是走到这里来的了,而$2*x=n-1$,又是我们必须到达的点,所以这种方法也无解。
那么我们的假设错误,n必须是偶数。
在偶数的情况下,我们发现$i$和$i+n/2$的出边相同。 我们把i和i+n/2看成一个点,现在就是一张n/2个点的图,所有点都有两条入边和两条出边,满足欧拉回路每个点度数都为偶数的性质! 于是只需要跑出欧拉回路就能对应到原问题了,介于欧拉回路算法的性质,贪心走较大的边即可保证字典序最大。(后面这一半是抄的官方题解)
对于欧拉回路dfs过程,我们只要倒序输出,得到的就还是我们需要的字典序最大的回路。
#include<bits/stdc++.h>
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=;
int n,vis[maxn],q[maxn],cnt;
void dfs(int u){ if(!vis[(u<<|)]){
vis[(u<<|)]=;
dfs((u<<|)%(n>>));
q[++cnt]=(u<<|)%n;
}
if(!vis[(u<<)]){
vis[(u<<)]=;
dfs((u<<)%(n>>));
q[++cnt]=(u<<)%n;
}
}
int main(){
while(cin>>n)
{
cnt=;
clr(vis,);
if(n%==){
puts("-1");
continue;
}
q[++cnt]=;
vis[]=;
dfs();
printf("");
while(cnt){
printf(" %d",q[cnt--]);
}
puts("");
}
return ;
}
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