$CF809C\ Find\ a\ car$ 数位$dp$

正解:数位$dp$

解题报告:

传送门!

然后因为没有翻译所以先放个翻译$QAQ$

有一个无穷大的矩阵,第$i$行第$j$列的数是$(i-1)\ xor\ (j-1)+1$,有$q$次询问,每次询问一个矩形内$(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})$小于等于$k$的数的和

好像是考试题,,,?学长出的$QwQ$?

然后考虑怎么做趴$QwQ$,发现这个式子其实要拆成两个部分?一个是$\sum (i-1)\ xor\ (j-1)$,一个是$\sum 1$,所以考虑拆成两个部分?一个为和一个为方案数$QwQ$

其实和与方案数的求法差不多,,,我就以和为$eg$港下怎么做嗷$QwQ$

其实是类似普通的数位$dp$的,设$f_{i,0/1,0/1,0/1}$表示考虑到第$i$位,$x$是否到达上限,$y$是否到达上限,$x\ xor\ y$是否到达上限.这么解释着可能有点儿空,,,,详细解释下$QwQ$

$f_{i,p,q,r}$,$i$表示二进制拆分后从高位到低位考虑到$x\ xor\ y$的第$i$位了,$p$表示二进制拆分后行号$x$是否是顶着$x_{1}$/$x_{2}$的,$q$表示二进制拆分后列号$y$是否是顶着$y_{1}$/$y_{2}$的,$r$表示二进制拆分后$x\ xor\ y$的值是否是顶着$k$的,然后转移下就好.这样解释下大概就能$get$了?发现其实和普通的数位$dp$也差不多,只不过平常的数位$dp$是十进制分解,这里因为涉及二进制运算所以就二进制分解掉了$QwQ$

然后转移也和普通的数位$dp$差不多?就如果顶着上线继续转移,否则随便搞

$over$?

对了这题不用$dfs$,直接$for$循环那种转移简洁明了$w$

恩留一个坑,就其实题目最开始给定的是说$(x,y)$这个格子的值是$mex_{i=1,j=1}^{x-1,y-1}dat_{i,j}$,但是因为我并不会证为什么它就等于$(x-1)\ xor\ (y-1)$,,,所以咕了$QwQ$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define int long long
#define gc getchar()
#define ri register int
#define rb register int
#define rc register char
#define rp(i,x,y) for(ri i=x;i<=y;++i)
#define my(i,x,y) for(ri i=x;i>=y;--i)

const int mod=1e9+,N=;
int K,f[N][][][],g[N][][][];

il int read()
{
    rc ch=gc;ri x=;rb y=;
    while(ch!='-' && (ch>'' || ch<''))ch=gc;
    if(ch=='-')ch=gc,y=;
    while(ch>='' && ch<='')x=(x<<)+(x<<)+(ch^''),ch=gc;
    return y?x:-x;
}
il int solv(ri x,ri y)
{
    memset(f,,sizeof(f));memset(g,,sizeof(g));f[][][][]=;if(x< || y<)return ;
    my(i,,)
        rp(p,,)
            rp(q,,)
                rp(r,,)
                    if(f[i+][p][q][r])
                        rp(j,,)
                            rp(k,,)
                            {
                                if(!p && j && !(x&(<<i)))continue;
                                if(!q && k && !(y&(<<i)))continue;
                                if(!r && (j^k) && !(K&(<<i)))continue;
                                ri tmpp=p,tmpq=q,tmpr=r;
                                if(!j && (x&(<<i)))tmpp|=;
                                if(!k && (y&(<<i)))tmpq|=;
                                if(!(j^k) && (K&(<<i)))tmpr|=;
                                (f[i][tmpp][tmpq][tmpr]+=f[i+][p][q][r])%=mod;
                                (g[i][tmpp][tmpq][tmpr]+=g[i+][p][q][r])%=mod;
                                if(j^k)(g[i][tmpp][tmpq][tmpr]+=1ll*(<<i)*f[i+][p][q][r]%mod)%=mod;
                            }
    ri ret=;rp(i,,)rp(j,,)rp(k,,)(ret+=g[][i][j][k])%=mod,(ret+=f[][i][j][k])%=mod;return ret;
}

 main()
{
    //freopen("809c.in","r",stdin);freopen("809c.out","w",stdout);
    ri T=read();
    while(T--)
    {
        ri x_1=read()-,y_1=read()-,x_2=read()-,y_2=read()-;K=read()-;
        printf("%d\n",(solv(x_2,y_2)+solv(x_1-,y_1-)+mod+mod-solv(x_2,y_1-)-solv(x_1-,y_2))%mod);
    }
    return ;
}