【Leetcode 堆、快速选择、Top-K问题 BFPRT】有序矩阵中第K小的元素（378）

题目

给定一个 n x n 矩阵，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第k小的元素。

请注意，它是排序后的第k小元素，而不是第k个元素。

示例:

matrix = [
   [ 1,  5,  9],
   [10, 11, 13],
   [12, 13, 15]
],
k = 8,

返回 13。

说明:

你可以假设 k 的值永远是有效的, 1 ≤ k ≤ n2 。

解答

这个问题和Leetcode 215笔记非常相似，可以用相同的几种思路解决掉。其中BFPRT时间复杂度O(N)

但这个题的输入是一个有序的矩阵，应该是有更好的办法吧！？找一圈没找到，有时间再来看。

思路：

1，全部收入列表，排序，取值。O(N·log(N))

2，维护一个大小为 k 的堆，元素大于等于堆顶负数入堆，堆顶就是第k小。O(N·log(k))

3，快速选择。最好O(N)，最坏O(N^2)

4，BFPRT。O(N)

注：N表示元素个数，即n^2个

通过代码如下：

import random
from heapq import *

class Solution:
    # 排序
    # def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
    #     l = []
    #     for m in matrix:
    #         l.extend(m)
    #     return sorted(l)[k-1]

    # 快速选择
    # def kthSmallest(self, matrix, k):
    #     nums = []
    #     for m in matrix:
    #         nums.extend(m)

    #     def partition(left, right, base):
    #         temp = nums[base]
    #         nums[base], nums[right] = nums[right], nums[base]  # 基准和末尾元素互换

    #         max_index = left
    #         for i in range(left, right):  # 把所有小于基准的移到左边
    #             if nums[i] < temp:
    #                 nums[max_index], nums[i] = nums[i], nums[max_index]
    #                 max_index += 1

    #         nums[right], nums[max_index] = nums[max_index], nums[right]  # 基准归位
    #         return max_index

    #     def select(left, right, k_smallest):
    #         """在 nums[left, right] 找第k小的元素"""
    #         if left == right:  # 递归终止条件
    #             return nums[left]
    #         pivot_index = random.randint(left, right)  # 随机选择基准（比固定选第一个要好）
    #         base_index = partition(left, right, pivot_index)  # 选第一个(left)为基准，并归位。
    #         if base_index == k_smallest:  # 判断目前已归位的基准，是不是第k_smallest位
    #             return nums[k_smallest]
    #         elif k_smallest < base_index:  # go to 左半部分
    #             return select(left, base_index - 1, k_smallest)
    #         else:  # go to 右半部分
    #             return select(base_index + 1, right, k_smallest)

    #     return select(0, len(nums) - 1, k-1)  # 第k大，是第n-k小

    # 堆
    # def kthSmallest(self, matrix, k):
    #     nums = []
    #     for m in matrix:
    #         nums.extend(m)
    #     hq = []
    #     for x in nums:
    #         if len(hq) < k:
    #             heappush(hq, -x)
    #         elif -x >= hq[0]:
    #             heapreplace(hq, -x)
    #     return -heappop(hq)

    # BFPRT
    def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
        nums = []
        for m in matrix:
            nums.extend(m)

        def getmedian(lis):
            """返回序列lis中位数，在BFPRT中就是求每5个数小组的中位数"""
            begin = 0
            end = len(lis)-1

            sum = begin+end
            mid = sum//2 + sum % 2  # 这个地方加上sum%2是为了确保偶数个数时我们求的是中间两个数的后一个
            return sorted(lis)[mid]

        def BFPRT(nums, left, right):
            """分成每5个数一个小组，并求出每个小组内的中位数"""
            num = right-left+1
            offset = 0 if num % 5 == 0 else 1  # 最后如果剩余的数不足5个，我们也将其分成一个小组，和前面同等对待
            groups = num//5 + offset
            median = []  # 中位数数组
            for i in range(groups):
                begin = left+i*5
                end = begin + 4
                Median = getmedian(nums[begin:min(end, right)+1])
                median.append(Median)
            return getmedian(median)

        def partition(nums, left, right, base):
            """在 nums[left, right] 将基准base归位"""
            temp = nums[base]
            nums[base], nums[right] = nums[right], nums[base]  # 基准和末尾元素互换

            max_index = left
            for i in range(left, right):  # 把所有小于基准的移到左边
                if nums[i] <= temp:  # 要等于啊！这里好坑的说.. 否则通不过[3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3]  k = 1
                    nums[max_index], nums[i] = nums[i], nums[max_index]
                    max_index += 1
            nums[right], nums[max_index] = nums[max_index], nums[right]  # 基准归位
            return max_index

        def select(nums, left, right, k_smallest):
            """在 nums[left, right] 找第k小的元素"""
            if left == right:  # 递归终止条件
                return nums[left]
            # pivot_index = random.randint(left, right)
            base = BFPRT(nums, left, right)
            base_index = partition(nums, left, right, nums.index(base))  # 选base为基准，并归位。
            if base_index == k_smallest:  # 判断目前已归位的基准，是不是第k_smallest位
                return nums[k_smallest]
            elif k_smallest < base_index:  # 递归左半部分
                return select(nums, left, base_index - 1, k_smallest)
            else:  # 递归右半部分
                return select(nums, base_index + 1, right, k_smallest)
        return select(nums, 0, len(nums) - 1, k-1)  # 第k大，是第n-k小