咸鱼的ACM之路：动态规划（DP）学习记录

按挑战程序设计竞赛介绍的顺序记录一遍学习DP的过程。

1. 01背包问题

问题如下：

有N个物品，每个物品（N[i]）都有一定的体积（W[i]），和一定的价值（V[i]）

现在给定一个背包，背包的容量为VBag

如何选择装进背包的物品，使背包中的物品价值总和最大？

动态规划的思想就是将一个大问题分解为易于解决的小问题，找到大问题对于小问题的递推关系，从而解决大问题。

对于01背包而言，多个物品如何选择很明显是一个不可解的问题

把题目中给的条件做一下变换，假设只有1个物品，就很好解了，如果背包能装下，就装。

再假设有两个物品，这时就要考虑一下背包的容量问题了。

1. 背包两个物品都能装下，最大价值就是两者之和

2. 如果只能装下其中之一，总的最大价值就是那个价值最大的

3. 如果只能装下一个物品，最大价值只能是装下的物品的价值

4. 如果两个都装不下，最大价值就是0

不难发现01背包问题的答案是由背包的大小以及物品的种类多少决定的

那么如何找到递推关系呢？

还是看上面，如果找到了从一个物品递推到第二个物品的关系，就可以以此类推了。

第二个物品只有装和不装两种情况

如果不装，那么就是只有一个物品的情况

如果装了，那么那么这个背包的空间就减少了，同时总的价值也变高了。

那既然装了第二个物品，第一个物品又会怎么样呢？

如果剩余的空间还足够第一个物品装下，那么第一个物品就可以装进背包

如果不够，那么就只能不装了。

比较这两种情况，选择总的价值最大的，这就是答案

现在设函数F（x,y）=最大价值，x为物品种类，y为背包大小

现在有一个物品

1. 如果W[i]>y，无论如何都没办法装下，F(x,y)=F(x-1,y)（这个物品就不考虑了）

2. 如果w[i]<=y，比较装或不装两种情况，选择较大的那种

F(x,y) = max (F(x-1,y),F(x-1,y-w[i])+v[i])，这就是01背包的递归方程

找到了递推方程后，按照递推方程填表，01背包答案就在最后一行最后一列

2. 最大字段和

给出一段序列，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大