RS（纠删码）技术浅析及Python实现

前言

在Ceph和RAID存储领域，RS纠删码扮演着重要的角色，纠删码是经典的时间换空间的案例，通过更多的CPU计算，降低低频存储数据的存储空间占用。

纠删码原理

纠删码基于范德蒙德矩阵实现，核心公式如下所示（AD=E）

假设某些数据丢失，右式部分行丢失，变成E'，则左式也相应去掉对应行，变成A'。

函数\(Inverse[A']\)代表A'的逆矩阵，I代表单位矩阵

\[Inverse[A']*A'*D=Inverse[A']*E'​
\]

\[I*D=Inverse[A']*E'​
\]

\[D=Inverse[A']*E'​
\]

Python实现

import numpy as np

# 备份数量
backup_up = 2
# 原始数据
data = np.array([1, 0, 0, 8, 6])
# 根据纠删码原理生成的数据
vander_data = np.concatenate((np.identity(len(data)), np.vander(data, 3).transpose()[::-1]), axis=0)
storage_data = vander_data.dot(data)
print('生成数据',storage_data)
# 模拟数据丢失
loss_data = np.concatenate((storage_data[0:3], storage_data[5:7]), axis=0)
print('丢失后数据', loss_data)
# 恢复数据
recover_data = np.linalg.inv(np.concatenate((vander_data[0:3], vander_data[5:7]), axis=0)).dot(loss_data)
print('恢复数据',recover_data)

基于Python的Numpy库可以很容易地模拟纠删码数据恢复的流程。效果如下所示

伽罗华域优化

实际上，上述的Python代码只是纠删码的最基础版本，可以发现校验数据大于原始数据，这样就导致校验数据需要更多的存储位，并没有很好的优化存储空间。

在现实场景中，纠删码一般通过自定义的伽罗华域进行运算，保证位数在一定范围内。伽罗华域\(GF(2^w)​\)代表所有运算结果只能在\([0,2^w)​\)之间。

伽罗华域的加法和减法为异或运算，乘法和除法需要基于生成多项式计算出gfilog表。\(GF(2^4)\)的gfilog表如下所示。

以8*9为例，计算过程如下所示，需要注意如果值大于\(2^w\)，需要模\(2^w\)。

\[8*9=x^8 x^9=x^{17}=x^{17 \text{$\%$15}}=x^2=4
\]

更多优化

范德蒙德矩阵求逆矩阵的时间复杂度为\(O(N^3)\)，柯西矩阵求逆矩阵的时间复杂度为\(O(N^2)\)，因此可以采用柯西矩阵替代范德蒙德矩阵用于编码运算。