AcWing 209. 装备购买 （高斯消元线性空间）打卡

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 n 件装备，每件装备有 m 个属性，用向量z[i]=(ai,1,ai,2,..,ai,m)z[i]=(ai,1,ai,2,..,ai,m) 表示，每个装备需要花费 cici。

现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。

对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。

严格的定义是，如果脸哥买了 z[i1],z[i2],…,z[ip]z[i1],z[i2],…,z[ip]这 p 件装备，并且不存在实数 b1,b2,…,bpb1,b2,…,bp 使得z[k]=b1z[i1]+b2z[i2]+…+bpz[ip]z[k]=b1z[i1]+b2z[i2]+…+bpz[ip]，那么脸哥就会买z[k]z[k]，否则 z[k]z[k]对脸哥就是无用的了，自然不必购买。

脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

输入格式

第一行包含两个整数 n和m。

接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。

接下来一行 n 个数，其中第i个数表示购买第 i 件装备的花费cici。

输出格式

输出占一行，包含两个整数，第一个整数表示能够购买的最多装备数量，第二个整数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费。

数据范围

1≤n,m≤5001≤n,m≤500,
0≤ai,j≤10000≤ai,j≤1000

输入样例：

3 3
1 2 3
3 4 5
2 3 4
1 1 2

输出样例：

2 2

题意：给出n个向量，每个向量有m个属性，每个向量有个价值，我们现在求买最多的向量，但是花最少的钱，当然有个要求，如果其中一些变量能够由其他的拼凑出来而且价格比这低，那么就不用多次一举买这些变量
，满足这要求求最优的答案

思路：
这里讲一个概念   线性空间
其中有很多变量，如果有些变量可以被其他变量凑出来，通过向量间的加法，和数量积之和得来，那么就是线性相关，否则就是线性无关，
求最大的线性无关组，我们可以用高斯消元，如果一行都被化简成0，说明这个可以被其他凑出来，那么就不需要买，也就是矩阵的秩
这里还有个问题就是要用最少的钱，我们只需要找最大元的时候找出满足要求且最低的价格的那一个即可

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
#define mod 1000000007
#define eps 1e-8
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m;
long double a[][];
long double c[];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=;i<=n;i++){
        for(int j=;j<=m;j++){
            double temp;
            cin>>temp;
            a[i][j]=temp;
        }
    }
    for(int i=;i<=n;i++){
        double temp;
        cin>>temp;
        c[i]=temp;
    }
    double sum=;
    ll num=;
    for(int i=;i<=n;i++){
        int flag=;
        for(int j=i;j<=n;j++){
            if(fabs(a[j][i])>eps){
                if(flag==||c[j]<c[flag])
                {
                    flag=j;
                }
            }
        }
        /*if(fabs(a[i][i])<eps){
            num=i-1;
            break;
        }*/
        if(flag==) continue;
        num++;
        for(int k=;k<=m;k++){
            swap(a[i][k],a[flag][k]);
        }
        swap(c[i],c[flag]);
        sum+=c[i];
        for(int j=;j<=n;j++){
            if(i==j||fabs(a[j][i])<eps) continue;
            long double state=a[j][i]/a[i][i];
            for(int k=;k<=m;k++){
                a[j][k]-=a[i][k]*state;
            }
        }
    }
    cout<<num<<" "<<sum;
} 

/*
3 3
1 2 3
3 4 5
2 3 4
1 1 2
*/