[POJ 1911] 棋盘

问题描述

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。

均方差 ，其中平均值 ，x i为第i块矩形棋盘的总分。

请编程对给出的棋盘及n，求出O'的最小值。

输入格式

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。

第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

输出格式

仅一个数，为O'（四舍五入精确到小数点后三位）。

样例输入输出

样例输入

3

1 1 1 1 1 1 1 3

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1 0 3

样例输出

1.633

解析

首先，我们需要将均方差的公式进行一定的变形，方便进行动态规划。公式变形如下：

\[\begin{align}
\sigma &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline{x})^2}}{n}}\\
&= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i^2-2x_i\overline{x}+\overline{x}^2)}}{n}}\\
&= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-2\overline{x}\sum_{i=1}^nx_i+n\overline{x}}{n}}\\
&= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{n}-\overline{x}^2}
\end{align}
\]

那么，现在只与每个矩形的元素和的平方有关。矩阵的和可以用二位前缀和的方式来解决，下面的关键是如何用动态规划的方式解决这个问题。想要描述一个状态，显然需要知道当前剩余矩形的位置。另外，由于受切割次数的限制，还需要记录这个矩形是割了几次后的结果。由此，我们有如下动态规划策略：

设\(f[i][j]][k][l][d]\)表示在切割了d次后剩余的矩形左上角为(i,j)、右上角为(k,l)时的最优解。那么转移时可以由题目要求，从各个方向进行转移。方程因为太长，在代码里注释。代码里将\(f[i][j][k][l][0]\)设为矩形元素和的平方。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int INF=1<<30;
int n, chess[9][9]={0}, sum[9][9]={0}, dp[9][9][9][9][15]={0};
//直接计算矩形(y1, x1)(y2, x2)矩形分数平方
int getX(int y1, int x1, int y2, int x2){
    int a=sum[y2][x2]-sum[y2][x1-1]-sum[y1-1][x2]+sum[y1-1][x1-1];
    return a*a;
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    //统一i表示y，j表示x
    for(int i=1;i<=8;i++)
        for(int j=1;j<=8;j++)
            scanf("%d", &chess[i][j]);
    //计算sum数组（矩形(1, 1)(i, j)的分数和），方便直接计算getX
    for(int i=1;i<=8;i++){
        for(int j=1;j<=8;j++)
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+chess[i][j];
        for(int j=1;j<=8;j++)
            sum[i][j]+=sum[i-1][j];
    }
    //初值
    for(int i1=1;i1<=8;i1++)
        for(int j1=1;j1<=8;j1++)
            for(int i2=i1;i2<=8;i2++)
                for(int j2=j1;j2<=8;j2++)
                    dp[i1][j1][i2][j2][0]=getX(i1, j1, i2, j2);
    //这里的i是切割数（分析里的d）
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int i1=1;i1<=8;i1++)
            for(int j1=1;j1<=8;j1++)
                for(int i2=i1;i2<=8;i2++)
                    for(int j2=j1;j2<=8;j2++){
                        //赋值INF，若状态不合法不会干扰其他状态
                        dp[i1][j1][i2][j2][i]=INF;
                        //左右切割
                        for(int k=j1;k<j2;k++)
                            dp[i1][j1][i2][j2][i]=min(dp[i1][j1][i2][j2][i], min(dp[i1][j1][i2][k][i-1]+dp[i1][k+1][i2][j2][0], dp[i1][j1][i2][k][0]+dp[i1][k+1][i2][j2][i-1]));
                        //上下切割
                        for(int k=i1;k<i2;k++)
                            dp[i1][j1][i2][j2][i]=min(dp[i1][j1][i2][j2][i], min(dp[i1][j1][k][j2][i-1]+dp[k+1][j1][i2][j2][0], dp[i1][j1][k][j2][0]+dp[k+1][j1][i2][j2][i-1]));
                    }
    //套公式
    printf("%.3f\n", sqrt(double(dp[1][1][8][8][n-1])/n-double(sum[8][8]*sum[8][8])/n/n));
    return 0;
}