UOJ 450 【集训队作业2018】复读机——单位根反演

题目：http://uoj.ac/problem/450

重要式子：

　　\( e^x = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!} \)

　　\( ( e^{a*x} )^{(n)} = a^n * e^{a*x} \)

所以 \( e^{a*x} \)  \( [x^n] \) 乘上 n! 就是 \( a^n \) （考虑求 n 次导之后，n 次项系数变成 0 次项系数；x 取值为0即可求得现在的 0 次项系数）

推式子可以看这里：https://blog.csdn.net/As_A_Kid/article/details/88832669

找原根就是枚举 i ，判断 \( i^{\frac{phi(mod)}{p}} \) 是否等于1；其中 p 是 phi(mod) 的每个质因子。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e5+,mod=,G=;
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<)x+=mod;return x;}
int pw(int x,int k)
{int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;}

int n,k,op,jc[N],jcn[N];
void init()
{
  jc[]=;for(int i=;i<=k;i++)jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod;
  jcn[k]=pw(jc[k],mod-);
  for(int i=k-;i>=;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+]*(i+)%mod;
}
int C(int n,int m)
{return (ll)jc[n]*jcn[m]%mod*jcn[n-m]%mod;}
int main()
{
  scanf("%d%d%d",&n,&k,&op);
  if(op==){ printf("%d\n",pw(k,n));return ;}
  init();
  if(op==)
    {
      int ans=;
      for(int i=;i<=k;i++)
    ans=(ans+(ll)C(k,i)*pw(upt(*i-k),n))%mod;
      ans=(ll)ans*pw(,mod--k)%mod;
      printf("%d\n",ans); return ;
    }
  int w0=,w1=pw(G,(mod-)/),w2=(ll)w1*w1%mod,ans=;
  for(int i=;i<=k;i++)
    {
      int tp=;
      for(int j=;j<=k-i;j++)
    {
      int tp2=(i+(ll)j*w1)%mod;
      tp2=(tp2+(ll)(k-i-j)*w2)%mod;
      tp=(tp+(ll)C(k-i,j)*pw(tp2,n))%mod;
    }
      ans=(ans+(ll)tp*C(k,i))%mod;
    }
  ans=(ll)ans*pw(,mod--k)%mod;
  printf("%d\n",ans);
  return ;
}