拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）

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拉普拉斯矩阵是图论中用到的一种重要矩阵，给定一个有n个顶点的图 G=(V,E)，其拉普拉斯矩阵被定义为 L = D-A，D其中为图的度矩阵，A为图的邻接矩阵。例如，给定一个简单的图，如下（例子来自wiki百科）：

 

 

把此“图”转换为邻接矩阵的形式，记为A：

 

 

把W的每一列元素加起来得到N个数，然后把它们放在对角线上（其它地方都是零），组成一个N×N的对角矩阵，记为度矩阵D，如下图所示。其实度矩阵（对角线元素）表示的就是原图中每个点的度数，即由该点发出的边之数量。

 

 

根据拉普拉斯矩阵的定义L = D-A，可得拉普拉斯矩阵L 为：

 

 

显然，拉普拉斯矩阵都是对称的。此外，另外一种更为常用的拉普拉斯矩阵形式是正则化的拉普拉斯矩阵（Symmetric normalized Laplacian），定义为：

 

 

该矩阵中的元素由下面的式子给出：