Codeforces 402D Upgrading Array：贪心 + 数学

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/402/D

题意：

　　给你一个长度为n的数列a[i]，又给出了m个“坏质数”b[i]。

　　定义函数f(s)，其中p是s的最小质因子:

　　　　f(1) = 0

　　　　f(s) = f(s/p) + 1 （p不是坏质数）

　　　　f(s) = f(s/p) - 1 （p是坏质数）

　　你可以任意次数地进行操作：给a[1 to i]的每个数都除以gcd(a[1 to i])。

　　问你 ∑ f(a[i)最大为多少。

题解：

　　函数f(s)的实际意义是：

　　　　s的质因子中，好质数的个数 - 坏质数的个数。

　　每一次操作的实际意义是：

　　　　对于所选前缀中的每个数，从它的质因子中丢掉若干个好质数和坏质数。

　　显然，要想使 ∑ f(a[i)更大，则：

　　　　对于每次操作，当且仅当丢掉的坏质数的个数大于丢掉好质数的个数时，才会执行操作。

　　然后考虑操作顺序所带来的影响：

　　　　假设有i < j。

　　　　如果先执行操作opt(1 to i)，再执行操作opt(1 to j)：

　　　　　　由于第一次操作已经使得gcd(a[1 to i])变为1，并且区间[1,j]包含着[1,i]。

　　　　　　所以此时gcd(a[1 to j]) = 1，即第二次操作是无效的。

　　　　　　也就是说，a[i+1 to j]中的一些数，本身可以对答案做出贡献，却因为第一次操作而失效。

　　　　如果先执行操作opt(1 to j)，再执行操作opt(1 to i)：

　　　　　　因为第一次操作已经将a[i+1 to j]中可以除掉的坏质数全部除掉，并将a[1 to i]中的一部分坏质数除掉。

　　　　　　所以在第二次操作时，只要将a[1 to i]中剩下的坏质数除掉即可，不会有任何浪费。

　　所以从后往前贪心地操作就好啦。

　　复杂度分析：

　　　　（1）预处理出前缀gcd[i]：

　　　　　　O(n*logn)

　　　　（2）处理出所有操作完成后的数列a[i]（要分解质因数）：

　　　　　　O(n*sqrt(n))

　　　　（3）算出所有的f(a[i])（还要分解质因数）：

　　　　　　O(n*sqrt(n))

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <math.h>
 #include <set>
 #define MAX_N 5005

 using namespace std;

 int n,m;
 int a[MAX_N];
 int g[MAX_N];
 set<int> st;

 void read()
 {
     cin>>n>>m;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         cin>>a[i];
     }
     int x;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         cin>>x;
         st.insert(x);
     }
 }

 int gcd(int a,int b)
 {
     return b== ? a : gcd(b,a%b);
 }

 void cal_g()
 {
     g[]=a[];
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         g[i]=gcd(g[i-],a[i]);
     }
 }

 pair<int,int> cal_p(int x)
 {
     int good=;
     int bad=;
     for(int i=,t=sqrt(x);i<=t;i++)
     {
         int cnt=;
         while(x%i==)
         {
             x/=i;
             cnt++;
         }
         if(cnt)
         {
             if(st.count(i)>) bad+=cnt;
             else good+=cnt;
         }
     }
     if(x!=)
     {
         if(st.count(x)>) bad++;
         else good++;
     }
     return pair<int,int>(good,bad);
 }

 bool check(int x)
 {
     pair<int,int> p=cal_p(x);
     return p.first<p.second;
 }

 void cal_a()
 {
     int d=;
     for(int i=n;i>=;i--)
     {
         if(check(g[i]/d)) d=g[i];
         a[i]/=d;
     }
 }

 int cal_f()
 {
     int ans=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         pair<int,int> p=cal_p(a[i]);
         ans+=p.first-p.second;
     }
     return ans;
 }

 void work()
 {
     cal_g();
     cal_a();
     cout<<cal_f()<<endl;
 }

 int main()
 {
     read();
     work();
 }