SP18637 LAWRENCE - Lawrence of Arabia

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

给定一个长度为n的序列，至多将序列分成m+1段，每段序列都有权值，权值为序列内两个数两两相乘之和。求序列权值和最小为多少？

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

第一行两个数 \(n, m\)，

第二行为序列

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

输出一行为最小权值和

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

4 1
4 5 1 2

4 2
4 5 1 2

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

17

2

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

\(n \le 500, a_i \le 20\)

\(\color{#0066ff}{题解}\)

考虑一段的贡献，就是\(\sum\)任意两个数乘机

其实就是完全平方式， 所有数的和的平方减去所有数的平方和就是2倍的两两乘积之和

再除以2就是区间的贡献

不难设出状态\(f[i][j]\)为前i个数，分成j段的最小权值和

那么转移\(f[i][j]=min\{f[k][j-1]+((s[i]-s[k])\times(s[i]-s[k])-(p[i]-p[k]))/2\}\)

通过打表发现，决策点是单调的，于是可以用四边形不等式进行优化

记录一下决策点的位置，可以优化成\(O(N^2)\)的复杂度

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
const int maxn = 505;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int f[maxn][maxn], s[maxn], p[maxn], a[maxn], q[maxn][maxn];
int n, k;
int main() {
	n = in(), k = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		s[i] = s[i - 1] + (a[i] = in());
		p[i] = p[i - 1] + a[i] * a[i];
		f[i][0] = (s[i] * s[i] - p[i]) >> 1;
	}
	for(int i = 1; i <= k; i++) q[n + 1][i] = n;
	for(int j = 1; j <= k; j++)	{
		for(int i = n; i >= 1; i--) {
			f[i][j] = inf;
			for(int v = q[i][j - 1]; v <= std::min(i, q[i + 1][j]); v++) {
				int now = f[v][j - 1] + (((s[i] - s[v]) * (s[i] - s[v]) - (p[i] - p[v])) >> 1);
				if(f[i][j] > now) f[i][j] = now, q[i][j] = v;
			}
		}
	}
	printf("%d", f[n][k]);
	return 0;
}