BZOJ1217或洛谷2279 [HNOI2003]消防局的设立

BZOJ原题链接

洛谷原题链接

该题有两种做法，树形\(DP\)和贪心。

先讲贪心。

先将所有点按深度从大到小排序，然后从大到小依次取出点，若已经被覆盖则跳过，否则就在它的祖父点建立消防站。

考虑如何判断该点是否被覆盖，设数组\(dis[x]\)表示点\(x\)到达离它最近的消防站的距离。

则在扫到一个点时，先用它父亲和祖父的\(dis\)来尝试更新该点的\(dis\)，即尝试用父亲或祖父来覆盖该点，若没有被覆盖，则在祖父建立消防站，并更新祖父的父亲和祖父的祖父的\(dis\)，这样就能同时将兄弟节点和儿子（孙子）节点覆盖点的情况记录下来。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int de[N], fa[N], po[N], dis[N];
inline int re()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	bool p = 0;
	for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar())
		p |= c == '-';
	for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
		x = x * 10 + c - '0';
	return p ? -x : x;
}
inline int minn(int x, int y)
{
	return x < y ? x : y;
}
bool comp(int x, int y)
{
	return de[x] > de[y];
}
int main()
{
	int i, x, y, z, n, s = 0;
	n = re();
	memset(dis, 60, sizeof(dis));
	for (de[1] = po[1] = 1, i = 2; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d", &fa[i]);
		de[i] = de[fa[i]] + 1;
		po[i] = i;
	}
	sort(po + 1, po + n + 1, comp);
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		x = po[i];
		y = fa[x];
		z = fa[y];
		dis[x] = minn(dis[x], minn(dis[y] + 1, dis[z] + 2));
		if (dis[x] > 2)
		{
			dis[z] = 0;
			s++;
			x = fa[z];
			y = fa[x];
			dis[x] = minn(dis[x], 1);
			dis[y] = minn(dis[y], 2);
		}
	}
	printf("%d", s);
	return 0;
}

然后是另一种做法，树形\(DP\)。

设\(f[x][k]\)表示以\(x\)为根的子树，\(x\)点在\(k\)状态下建立的消防局总数。

1. \(k = 0\)表示在\(x\)建立消防局。
2. \(k = 1\)表示\(x\)至少有一个儿子建立消防局。
3. \(k = 2\)表示\(x\)至少有一个孙子建立消防局。
4. \(k = 3\)表示\(x\)的儿子节点全部被覆盖。
5. \(k = 4\)表示\(x\)的孙子节点全部被覆盖。

前\(3\)种情况保证\(x\)被覆盖，后\(2\)种则不能保证。

设\(y,z\)均为\(x\)儿子。

则有状态转移方程：

\(\qquad\qquad f[x][0] = 1 + \sum\min\{ f[y][0\to 4] \}\)

\(\qquad\qquad f[x][1] = \min\{ f[y][0] + \sum\min\{ f[z][0\to 3]\ (z \neq y) \} \}\)

\(\qquad\qquad f[x][2] = \min\{ f[y][1] + \sum\min\{ f[z][0\to 2]\ (z \neq y) \} \}\)

\(\qquad\qquad f[x][3] = \sum\min\{ f[y][0\to 2] \}\)

\(\qquad\qquad f[x][4] = \sum\min\{ f[y][0\to 3] \}\)

显然对于状态\(0\to 4\)，建立的消防局总数依次减小，所以可以优化转移方程：

\(\qquad\qquad f[x][0] = 1 + \sum f[y][4]\)

\(\qquad\qquad f[x][1] = f[x][4] + \min\{ f[y][0] - f[y][3] \}\)

\(\qquad\qquad f[x][2] = f[x][3] + \min\{ f[y][1] - f[y][2] \}\)

\(\qquad\qquad f[x][3] = \sum f[y][2]\)

\(\qquad\qquad f[x][4] = \sum f[y][3]\)

最后答案就是\(f[1][2]\)。

因为贪心的可拓展性较好（可以处理覆盖\(k\)距离的情况），且打起来简单，所以这里就不给出\(DP\)的代码了（其实是懒）。