MT【165】分段函数

(2018浙江省赛12题改编)
设$a\in R$,且对任意的实数$b$均有$\max\limits_{x\in[0,1]}|x^2+ax+b|\ge\dfrac{1}{4}$求$a$ 的范围.

提示:由题意$\min\limits_{b\in R}{\max\limits_{x\in[0,1]}{|x^2+ax+b|}}\ge\dfrac{1}{4}$
记$N=\max\limits_{x\in[0,1]}{|x^2+ax+b|}$

$$\because\min\limits_{b\in R}N=
\begin{cases}
\dfrac{1+a}{2},&a\ge0,\\
\dfrac{(a+2)^2}{8},&a\in[-1,0),\\
\dfrac{a^2}{8},&a\in[-2,-1),\\
-\dfrac{1+a}{2},&a<-2,
\end{cases}
\therefore a\in(-\infty,-\sqrt{2}]\cup [\sqrt{2}-2,+\infty)$$

注：省赛原题右边为1,可用绝对值不等式妙解，但改为$\dfrac{1}{4}$后绝对值去做风险极大而且要考虑好几种绝对值不等式.体现了通性通法的重要性。过程中主要用到这个$\min\limits_{b\in R}N=\dfrac{f(x)_{max}-f(x)_{min}}{2}$