Uva 106 - Fermat vs. Pythagoras 解题报告

数论题，考查了本原勾股数（PPT）

对一个三元组（a,b,c）两两互质

且满足 a² + b² = c²

首先有结论

a 和 b 奇偶性不同 c总是奇数（可用反证法证明，不赘述）

设 a为奇数 b为偶数 a，b，c互质

有

a² = c² – b² =(c-b)(c+b)

由于c和b互质 且a为奇数

（c-b）与（c+b）也互质

令（c+b）=s²  （c-b）=t²

有 c=（s²+t²）/2 b=(s²-t²)/2

a=st

这时可以枚举s 和 t 保证 s t 互质

非本原勾股数只需乘上一个系数即可

 #include <iostream>
 #include <math.h>
 #include <cstring>
 int flag[];
 using namespace std;
 int main()
 {
     int i,m,n,maxm,maxn;
     int ans=;
     for (;cin>>i;ans=)
     {
         memset(flag,,sizeof flag);
         maxm=(int)sqrt((float)i-);
         for (m=;m<=maxm;++m)
         {
             maxn=(int)sqrt((float)i-m*m);
             maxn=maxn>=m?m-:maxn;
             for(n=;n<=maxn;++n)
             {
                 if(n%!=m%)
                 {
                     int a=m,b=n,c;
                     for(int r; (r = a % b) != ; a = b, b = r);
                     if (b == )
                     {
                         ++ans;
                         a = m * m - n * n, b =  * m * n, c = m * m + n * n;
                         for (int k = ; c * k <= i; ++k)
                         {
                             flag[a * k] = flag[b * k] = flag[c * k] = ;
                         }
                     }
                 }
             }
         }
         cout << ans << " ";
         for (ans = , m = ; m <= i; ans += !flag[m++]);
         cout << ans << endl;
     }
     return ;
 }