Codeforces 446C —— DZY Loves Fibonacci Numbers（线段树）

题目：DZY Loves Fibonacci Numbers

题意比較简单，不解释了。

尽管官方的题解也是用线段树，但还利用了二次剩余。

可是我没有想到二次剩余，然后写了个感觉非常复杂度的线段树，还是mark一下吧。

我是这样考虑这个问题的，首先准备三个数组F,G,K，功能后面解释。

然后对它们有这样一个计算：

F[0] = G[0] = 0;
F[1] = 1; G[1] = 0;
K[0] = 1;
K[1] = 0;
for(int i=2; i<N; i++){
	F[i] = (F[i-1]+F[i-2])%mod;
	G[i] = (G[i-1]+F[i-1])%mod;
	K[i] = (K[i-1]+K[i-2])%mod;
}

对于一个斐波那契数列，依据递推式我们能够知道即使我们要从中间開始。仅仅要知道连续两项（隔一项也能够。这里不考虑）。就能够顺利推出后面的值。

那么如果我们知道如今连续两项是v1,v2。那么从它们開始的第n项vn就是：K[n-1]*v1 + K[n]*v2（1）。

同一时候以v1,v2開始的连续n项的和是：F[n]*v1 + G[n]*v2（2）。

上面两个式子都是能够利用斐波那契数列本身的递推式推导得到的。

那么如今对于题目，如果我们要更新的是[L,R]区间，一開始传进去的是v1,v2，

假设如今须要改动子节点了，求出结点的中间值M。对于左边的区间我们知道v1和 v2照旧，关键是右边的须要又一次计算。

右边的第一项在原来的序列里面应该是属于第M+2-L项，记为x，所以能够利用上面（1）求出右边開始的两项。

当我们到达某个结点。它相应的区间和我们要改动的区间一样时，能够利用（2）直接将和加在原来的答案上面。

懒惰标记也非常好做。用f1和f2同一时候维护v1和v2的增量。

假如有两个序列1。1，2。3和2，3，5，8都加到了某个区间上去。

那么懒惰标记维护之后就是f1=1+2=3,，f2=1+3=4，利用递推能够算出后面两项就是7和11，这也符合原先两个序列的叠加。

完毕上面的工作，剩下的查询就是非经常规的求和了。

最后在CF上面跑了1122MS，还算能够吧。

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int mod = 1000000009;
const int N = 300010;
typedef long long LL;
#define lson o<<1
#define rson (o<<1)|1
int a[N], l[N<<2], r[N<<2];
LL s[N<<2], f1[N<<2], f2[N<<2];
bool f[N<<2];
LL F[N], G[N], K[N];
inline void in(int &x){
	char c=getchar();
	x = 0;
	while(c<48 || c>57)	c=getchar();
	while(c>=48 && c<=57){
		x = x*10+c-48;
		c = getchar();
	}
}
void maintain(int o){
	s[o] = (s[lson] + s[rson])%mod;
}
void build(int o, int ll, int rr){
	l[o] = ll; r[o]=rr;
	f[o] = 0;
	if(ll<rr){
		int m = (ll+rr)>>1;
		build(lson, ll, m);
		build(rson, m+1, rr);
		maintain(o);
	}
	else{
		s[o] = a[ll];
	}
}
void update(int o, int ll, int rr, LL v1, LL v2);
void pushdown(int o){
	if(f[o]){
		int m = (l[o]+r[o])>>1;
		update(lson, l[o], m, f1[o], f2[o]);
		int x = m + 1 - l[o];
		LL t1 = (K[x]*f1[o]%mod + K[x+1]*f2[o]%mod )%mod;
		LL t2 = (K[x+1]*f1[o]%mod + K[x+2]*f2[o]%mod )%mod;
		update(rson, m+1, r[o], t1, t2);
		f[o] = 0;
	}
}
void update(int o, int ll, int rr, LL v1, LL v2){
	if(l[o]==ll && r[o]==rr){
		int len = rr-ll+1;
		s[o] = (s[o] + F[len]*v1%mod + G[len]*v2%mod)%mod;
		if(!f[o]){
			f1[o] = v1;
			f2[o] = v2;
			f[o] = 1;
		}
		else{
			f1[o] = (f1[o] + v1)%mod;
			f2[o] = (f2[o] + v2)%mod;
		}
		return;
	}
	pushdown(o);
	int m = (l[o]+r[o])>>1;
	if(rr<=m)	update(lson, ll, rr, v1, v2);
	else if(ll>m)	update(rson, ll, rr, v1, v2);
	else{
		update(lson, ll, m, v1, v2);
		int x = m + 1 - ll;
		LL t1 = (K[x]*v1%mod + K[x+1]*v2%mod)%mod;
		LL t2 = (K[x+1]*v1%mod + K[x+2]*v2%mod)%mod;
		update(rson, m+1, rr, t1, t2);
	}
	maintain(o);
}
LL query(int o, int ll, int rr){
	if(l[o]==ll && r[o]==rr)	return s[o];
	pushdown(o);
	int m = (l[o]+r[o])>>1;
	LL tmp=0;
	if(rr<=m)	tmp = query(lson, ll, rr);
	else if(ll>m)	tmp = query(rson, ll, rr);
	else{
		tmp = (query(lson, ll, m)+query(rson, m+1, rr))%mod;
	}
	if(tmp<0){
		tmp = (tmp%mod + mod)%mod;
	}
	maintain(o);
	return tmp;
}
int main(){
	F[0] = G[0] = 0;
	F[1] = 1; G[1] = 0;
	K[0] = 1;
	K[1] = 0;
	for(int i=2; i<N; i++){
		F[i] = (F[i-1]+F[i-2])%mod;
		G[i] = (G[i-1]+F[i-1])%mod;
		K[i] = (K[i-1]+K[i-2])%mod;
	}

	int n, m;
	in(n); in(m);
	for(int i=1; i<=n; i++)	in(a[i]);
	build(1, 1, n);
	int op, x, y;
	while(m--){
		in(op); in(x); in(y);
		if(op&1){
			update(1, x, y, 1, 1);
		}
		else{
			printf("%I64d\n", query(1, x, y));
		}
	}
	return 0;
}