【基础操作】FFT / DWT / NTT / FWT 详解

1. 2. 点值表示法

假设两个多项式相乘后得到的多项式的次数（最高次项的幂数）为 $n$。（这个很好求，两个多项式的最高次项的幂数相加就得到了）

对于每个点，要用 $O(n)$ 的时间把 $x$ 分别代入两个多项式，得到两个结果 $z_1,z_2$，两者相乘得到 $z$，才能知道相乘后的多项式在代入一个 $x$ 时会得到 $z$，也就是固定了一个点 $(x,z)$。

至少需要 $n$ 个点（也就是枚举 $n$ 个 $x$）才能确定一个 $n$ 次多项式（拉格朗日插值），总时间复杂度 $O(n^2)$，跟暴力差不多。

$FFT$（Fast Fourier transform，快速傅里叶变换）

$DFT$

$IDFT$

$NTT$（Number-Theoretic Transform，快速数论变换）

在 $FFT$ 中，我们需要用到复数，复数虽然很神奇，但是它也有自己的局限性——

$1$ 是需要用 $double$ 类型计算，精度太低；

$2$ 是复数是虚数，它里面的 $i=\sqrt(-1)$，并不能取模。

那有没有什么东西能够代替复数且解决精度问题呢？

这个东西，叫原根

对于高中的 $OIer$ 而言，暂时不用证明这种没法证明的数学知识，记个结论就行了，其实现也只需要在普通的 $FFT$ 上改一点点。

阶

若 $a,p$ 互素，且 $p>1$，

对于 $a^n≡1 \pmod p$ 最小的 $n$，我们称之为 $a$ 模 $p$ 的阶，记做 $\delta_p(a)$。也就是 $n=\delta_p(a)$。

例如：

$δ7(2)=3$

$2^1≡2\space \pmod7$

$2^2≡4\space \pmod7$

$2^3≡1\space \pmod7$

原根

定义：设 $p$ 是正整数，$a$ 是整数，若 $\delta_p(a)$ 等于 $\varphi(p)$，则称 $a$ 为模 $p$ 的一个原根。

$\delta_7(3)=6=\varphi(7)$，因此 $3$ 是模 $7$ 的一个原根。

注意原根的个数是不唯一的。

这位同学讲得真好！

辅助结论（暂时对代码无帮助）

1. 如果模数 $p$ 有原根，那么它一定有 $\varphi(\varphi(p))$ 个原根。也就是说有些整数 $a$ 可能没有原根。

其实原根存在的充要条件为 $p ∈ {1,2,4,p^n}$，其中 $p$ 为奇素数且 $n$ 是任意正整数。

2. 若 $P$ 为素数，假设一个数 $g$ 是 $P$ 的原根，那么 $g_i\mod P\space (1\lt g\lt P,\space 0\lt i\lt P)$ 的结果两两不同。

用处

原根能代替单位根进行运算，是因为它具有和单位根相同的性质。

在 $FFT$ 中，我们用到了单位根的 $4$ 种性质，而原根也满足这 $4$ 条性质。

最终有个结论：$$\omega_n \equiv g^\frac{p-1}{n} \mod p$$

然后把 $FFT$ 中的 $\omega_n$ 全都换成上面这个即可。

由于多出来的快速幂是套在最外层的 $log$ 级别循环里的，因此 $NTT$ 的时间复杂度跟 $FFT$ 一样，是 $O(n\times log(n))$ 的（但是带大常数，因为分治内快速幂部分的复杂度实际上略高于 $O(log(n))$）。

怎么用代码求原根

$OI$ 的常见模数是 $P=998244353$，其原根 $n$ 为 $3$，原根的逆元为 $998244354÷3=332748118$（做 $IDFT$ 时要把之前 $DFT$ 乘的项除掉，而除法得改成乘逆元）。这个模数可以直接背。

如果一道题给了其它的模数，你可以在本机根据定义暴力求原根。

首先考虑求 $\varphi(p)$。

判断一下模数是不是素数（$O(\sqrt n)$ 就能判断，很快的），如果是的话，$\varphi(n)$ 就等于 $n-1$（忘了的建议回去复习下欧拉函数）；

否则求 $\varphi(n)$ 的值（其实时间复杂度也是 $O(\sqrt n)$），本机跑完后取出结果就行啦。

因为对于阶的定义式 $a^n\equiv 1\pmod p$，我们定义了 $n=\delta_p(a)=\varphi(p)$，所以把 $\varphi(p)$ 代回 $n$，再暴力枚举一些原根 $a$ ，找到一个满足原式子的 $a$ 即可。一般的习惯是从小到大枚举正整数为原根。

由于你只需要在本机跑出一个原根，提出来即可，所以不用太管时间复杂度……

好像结束了吧

不，显然还没结束。不知道你有没有注意到这样一个问题：$a^n≡1 \pmod p$ 这个式子，如果 $a$ 取 $1$，那它在定义域内肯定是满足要求的，也就是说 $1$ 好像是可以直接取的通用原根？

那我们还暴力找原根干啥？

这说明你忘了原根的意义。

原根是用来代替 $FFT$ 中的 $\omega$ 的，而我们用 $\omega$ 是为了取 $n$ 个有特殊性质的不同点。

对，点值表示法一开始就说过，必须代入 $n$ 个不同的点，也就是 $n$ 个不同的取值 $x$。

显然，如果取 $a=1$，那 $a^n$ 的所有取值都相同，就不满足点值表示法的本质要求了。

所以原根不能取 $1$。

对于 $a$ 的其它取值，之前还说过一个辅助结论，进一步印证了取不等于 $1$ 且在范围内的原根都是满足要求的：

若 $P$ 为素数，假设一个数 $g$ 是 $P$ 的原根，那么 $g_i\mod P\space (1\lt g\lt P,\space 0\lt i\lt P)$ 的结果两两不同。

FWT（Fast Walsh-Hadamard Transform，快速沃尔什变换）

结语

以前看到 $FFT$ 什么的数论神仙知识，总感觉很恶心，不是我这种蒟蒻可学的。

但现在真的学，加起来其实只学了 $2$ 天，就差不多搞明白了。

$OI$ 界的数学知识，并不要求你都严格证明，有些太叼的数学知识你可以先记个结论。

另外 $FFT$ 什么的东西都是数学板子，全文背诵都可以……

忠告：$FFT$ 系列的板子的常数都比较大，大约在 $n\le 200$ 时都跑得不如暴力快。