HDU6038：Function(循环群/节+找公式)

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题意

给出一个\(0\sim n-1\)的排列a，一个\(0\sim {m-1}\)的排列b，询问满足$$f(i)=b_{f(a_i)}~~(0\le i\le n-1)$$的函数的个数

分析

由于 \(f(i) = b_{f(a_i)} = b_{b_{f(a_{a_i})}} = \underbrace{b_{\cdots b_{f(i)}}}_{l\text{ times }b}\)，我们发现a中的l个数构成了循环群，而只有当\(j为l\)的因子时才满足上述函数（请注意观察公式及结合样例），j为排列b中循环节的长度，l为排列a中循环节的长度。

故先与处理出a和b的拥有的循环群长度及数目。

最终答案为$$\prod_{i=1}^{k}\sum_{j\mid l_i}num[j]*j$$(请仔细思考)

a中每种循环节都是单独的，而a中循环节对应的b中的循环节则要相加

相关题解

trick

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define R(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

const ll mod = 1e9+7;

int n,m;
int a[1000100],b[100100];
int numa[100100],numb[100100];
int vis[100100];
ll ans,ret;

void dfs1(int loc,int k)//统计a中循环群长度及数目
{
    if(vis[loc]) {numa[k]++;return ;}
    vis[loc]=1;
    dfs1(a[loc],k+1);
}
void dfs2(int loc,int k)//统计b中循环群长度及数目
{
    if(vis[loc]) {numb[k]++;return ;}
    vis[loc]=1;
    dfs2(b[loc],k+1);
}

int main()
{
    int tot=0;
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {
        R(i,0,n) scanf("%d",a+i);
        R(i,0,m) scanf("%d",b+i);
        mem(vis,0);mem(numa,0);
        R(i,0,n) if(!vis[i]) dfs1(i,0);
        mem(vis,0);mem(numb,0);
        R(i,0,m) if(!vis[i]) dfs2(i,0);
        //F(i,1,n) printf("%d %d\n",numa[i],numb[i] );
        ans=1;
        for(int i=1;i<=n;++i) if(numa[i])//枚举a中循环群长度
        {
            ret=0;int len=(int)sqrt(i+0.5);
            for(int j=1;j<=len;++j)if(i%j==0)//找到b中为a中循环群长度因子的循环群
            {
                ret=(ret+1LL*numb[j]*j%mod)%mod;
                if(j*j!=i) ret=(ret+1LL*numb[i/j]*(i/j)%mod)%mod;
            }
            for(int j=1;j<=numa[i];++j) ans=ans*ret%mod;//a中有numa[i]个长度为i的循环群，注意取模
        }
        printf("Case #%d: %I64d\n",++tot,ans );
    }
    return 0;
}