暑假NOIP期末考试【1】—— Phantom

Phantom

•题目名称： phantom

•时间限制：1 秒

•空间限制：256 MiB

题目描写叙述

在一个无限大的棋盘上。排列着 n * n 枚棋子，形成一个 n 行 n 列的方阵。棋子能够横向或者纵向移动，移动方式是越过一个相邻的棋子，落入同一方向上的下一个空暇的格子里，同一时候。移除被越过的棋子。

如今。我们想知道，是否有可能通过若干次操作。使得棋盘上仅剩一枚棋子。

比如。当 n = 2 时，有例如以下操作方法：

…. …. …. ….

.OO. => …O => …O => ….

.OO. .OO. …O ….

…. …. …. …O

输入格式

输入文件的第一行包括一个整数，表示測试数据的数目。

每一个測试数据占一行，包括单独的一个整数 n。

输出格式

对于每一个測试数据。在单独的一行内输出答案。

假设有可能使得棋盘上仅剩一枚棋子，输出 YES ；否则输出 NO 。

例子输入2

2

3

例子输出YES

NO

数据范围与约定

•对于 30% 的数据，n ≤ 6。

•对于 100% 的数据，n ≤ 1 000 000 000，測试数据不超过 1000 组。

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对于这道题非常多人最初的感觉就是搜索嘛，只是看看这大数据，n<=1 000 000 000,怎么可能。

仅仅能是O（1）的时间复杂度啊。所以。直觉告诉我。或者说是个人都会知道，这道题是一道有规律可循的题。。

All jokes aside,先说一下老师介绍的第一种方法：

对于一个N=2的4*4矩阵来说。我们非常easy的就能把它变成我们想要的情况，那么是不是能够把它作为一个基本模型，或者说让它成为我们的期望装态，这样的思想相似于数学中的“归纳法”(这一点能够好好体会一下)。

经过以上的分析后，如今我们能够动手实践一下了。

有句话叫什么来着“失败是通往成功的必经之路”，所以你会发现，当N=3的时候，怎么也不能实现。当时当你画4*4的情况的时候。或许在某种情况会出现一个完整的2*2。而这正是你想要的。



而我们知道仅仅剩下一个点当然也是能够的。所以同理，当N=5的时候就会出现以下的情况：



这时候大概就会找到一些规律了，也就是我们都是每三个三个消掉的。似乎仅仅要有三个连续的就能够弄掉，只是其实并不是这样简单，条件是得出现一个‘L’形状，也就是说这三个点的两端的两边至少要有一个点。这样这三个点才干够消掉。

并且我们举得4,5这两个例子大能够概括全部的情况（事实证明。不要问我为什么，自己试试就知道了）。



就像这个样子，对于随意的N（也并不是随意），都能够转化为4或5的形式。进而转化到我们的基本模型，1或2。

但到这里。可能你还会有些疑问，或许你还在问为什么为什么，由于我们越过了一个非常奇妙的数字，3。

由于。假设依照之前的思想，那么三是不是应该就没了？——只是这当然是不可能的啊，为什么呢？再花哨的语言也说不清事物的本质，因此这样的问题还是须要自己实践一下，这样自然会明确。

这回能够扩展到随意的N了，对于一个（N^2）不能被3整除的数，我们都会处理。而能被3整除的数终于不能化成1或2，所以不能够。

Ex——方法2

之前就说过，异或是一个非常奇妙的东西。在计算机中。异或属于位运算的一种。并且利用二进制能够非常快的计算出来。

只是我们在这道题用的并不是这个性质，而是以下的这三种关系：

1^2=3

2^3=1

3^1=2

也就是说，1,2,3的异或是互相转换的。

这样，我们能够把每一个格子标号

以N=6为例

1 2 3 1 2 3

3 1 2 3 1 2

2 3 1 2 3 1

1 2 3 1 2 3

3 1 2 3 1 2

2 3 1 2 3 1

无论你在这个矩阵中找到了什么规律。我想告诉你的是。每一个点的上下左右都是两个不同的数字，这样有什么优点呢？想想看。我们终于的状态是什么？1或者2或者3对吧，而我们知道如今的总亦或值为0。所以无论我们如何移动都不能出现单独的一个数字。

而这个结论正好与第一个方法中的能被3整除相调和。

PS：异或的性质非常重要，理解深刻的话对于做题来讲十分实用，假设一道题你能想出来能够用如异或一样的位运算方法的时候，你就是神犇。

最形象的方法——方法3

用最本质的想法， OO* —>**O 是我们移动的根本，那么是否我们能够抽象出一个模型（以5为例）：



为什么这样做呢？能够看到。当我每次移动一步的时候，每一个颜色的点都会相应的添加一个或者降低一个。假设这个能够理解的话。那么我说它们的奇偶性都会随之改变。且同一时候变为相反的状态，依照上图：

BLUE： 8

BLACK: 8

WHILE：9

也就是”偶偶奇“，而我们的目的状态就是”001“—>‘偶偶奇’。

非常显然仅仅要我的黑、蓝、白三个数目不相等就好。这样就非常easy理解为什么能被3整除就不行了，由于在3*3的格子中，黑蓝白三种颜色的数目始终是相等的。因此这样的方法就非常好地攻克了我们方法1中可能存在疑惑的地方。

所以就非常好理解了为什么N%3==0就能够，else 不行。

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Code：

太简单了，就不贴了。

Summary：

做题前一定要看看数据范围。往往数据范围就能提示你改用什么算法来作答，同一时候思想不能死板，不要往模板题上想，灵感可能就在电光火石间产生。