[NOIP2014普及组]子矩阵

题目：洛谷P2258、Vijos P1914、codevs 3904。

题目大意：给你一个矩阵，要你找一个r行c列的子矩阵，求最小分值（子矩阵和分值的定义见原题）。

解题思路：n和m比较小，考虑暴力。

发现时间复杂度为$O(C_n^r ×C_m^c)$，可能会炸掉。因此考虑优化。

我们可以只暴力出行，然后通过dp求出和：

设f[i][j]表示选i列最后一个选j所得到的最小分值，x[i][j]表示第i列和第j列能产生的分值（不包括上下），y[i]表示第i列能产生出的分值（上下），这些都表示当前暴力到的状态。

则$f[i][j]=f[i-1][k]+y[j]+x[k][j](2\leq i\leq c,i\leq j\leq m,i-1\leq k\leq j-1)$，边界f[1][i]=y[i]。

最后答案为$min(f[c][i])(c\leq i\leq m)$。

dp时间复杂度是$O(m^3)$的，那么总时间复杂度优化到$O(C_n^r × m^3)$。

C++ Code：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define For(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)
#define min(a,b) (((a)<(b))?(a):(b))
int a[17][17],n,m,r,c,num[17],ans,f[17][17],y[17],x[17][17];
void dp(){
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	memset(f[1],0,sizeof f[1]);
	memset(y,0,sizeof y);
	memset(x,0,sizeof x);
	For(i,1,m)For(j,2,r)
	y[i]+=abs(a[num[j]][i]-a[num[j-1]][i]);
	For(i,1,m)
	For(j,i+1,m)
	For(k,1,r)
	x[i][j]+=abs(a[num[k]][i]-a[num[k]][j]);
	memcpy(f[1],y,sizeof f[1]);
	For(i,2,c)
	For(j,i,m)
	For(k,i-1,j-1)
	f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+y[j]+x[k][j]);
	For(i,c,m)ans=min(ans,f[c][i]);
}
void dfs(int now){
	if(now>r){
		dp();
		return;
	}
	For(i,num[now-1]+1,n){
		num[now]=i;
		dfs(now+1);
	}
}
int main(){
	ans=0x3f3f3f3f;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
	For(i,1,n)For(j,1,m)
	scanf("%d",&a[i][j]);
	num[0]=0;
	dfs(1);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}