Intersection between 2d conic in OpenCASCADE

eryar@163.com

Abstract. OpenCASCADE provides the algorithm to implement of the intersection between two 2d conic curve. The conic is defined by its implicit quadaratic equation, so the intersection problem is become a polynomial roots finding problem. The paper focus on the two conic curve intersection algorithm implementation.

Key Words. 2d conic intersection, conic equation,

1.Introduction

高中的时候学习了直线Line、圆Circle、圆锥曲线Conic(椭圆Ellipse、双曲线Hyperbola和抛物线parabola)等二维曲线的方程及特性,也可以对他们之间的相交情况进行计算。如何编程实现任意两个圆锥曲线相交呢?本文通过对OpenCASCADE中二维圆锥曲线相交代码的分析来理解其实现原理。

Figure 1. 圆锥曲线相交

2.Conic Implicit Equation

圆锥曲线一般的代数表示方法为:

OpenCASCADE中使用类IntAna2d_Conic来表示圆锥曲线的代数方程。并提供了将二维曲线(直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线)转换成代数方程的方法,相关代码如下所示:

IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Lin2d& L) {

  a = 0.0;
b = 0.0;
c = 0.0;
L.Coefficients(d,e,f);
f = *f;
} IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Circ2d& C) { C.Coefficients(a,b,c,d,e,f);
} IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Elips2d& E) { E.Coefficients(a,b,c,d,e,f);
} IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Parab2d& P) {
P.Coefficients(a,b,c,d,e,f);
} IntAna2d_Conic::IntAna2d_Conic (const gp_Hypr2d& H) {
H.Coefficients(a,b,c,d,e,f);
}

3.Intersection between Circle and Conic

当对二维圆和圆锥曲线进行求交时,先得到圆的半径和圆锥曲线的一般式方程。将圆用参数方程表示并代入圆锥曲线的一般式方程中得到:


所以圆和圆锥曲线求交问题转换为三角函数方程求解的问题。OpenCASCADE的math包中提供了类math_TrigonometricFunctionRoots来求解如下三角函数方程的根:

直接将对应的系数传入即可对如上形式的三角函数方程进行求根。OpenCASCADE中圆和圆锥曲线求交的代码如下所示:

void IntAna2d_AnaIntersection::Perform(const gp_Circ2d& Circle,
const IntAna2d_Conic& Conic)
{
Standard_Boolean CIsDirect = Circle.IsDirect();
Standard_Real A,B,C,D,E,F;
Standard_Real pcc,pss,p2sc,pc,ps,pcte;
Standard_Real radius=Circle.Radius();
Standard_Real radius_P2=radius*radius;
Standard_Integer i;
Standard_Real tx,ty,S; done = Standard_False;
nbp = ;
para = Standard_False;
empt = Standard_False;
iden = Standard_False; gp_Ax2d Axe_rep(Circle.XAxis()); Conic.Coefficients(A,B,C,D,E,F);
Conic.NewCoefficients(A,B,C,D,E,F,Axe_rep); // Parametre a avec x=Radius Cos(a) et y=Radius Sin(a) pss = B*radius_P2;
pcc = A*radius_P2 - pss; // COS ^2
p2sc =C*radius_P2; // 2 SIN COS
pc = 2.0*D*radius; // COS
ps = 2.0*E*radius; // SIN
pcte= F + pss; // math_TrigonometricFunctionRoots Sol(pcc,p2sc,pc,ps,pcte,0.0,2.0*M_PI); if(!Sol.IsDone()) {
cout << "\n\nmath_TrigonometricFunctionRoots -> NotDone\n\n"<<endl;
done=Standard_False;
return;
}
else {
if(Sol.InfiniteRoots()) {
iden=Standard_True;
done=Standard_True;
return;
}
nbp=Sol.NbSolutions();
for(i=;i<=nbp;i++) {
S = Sol.Value(i);
tx= radius*Cos(S);
ty= radius*Sin(S);
Coord_Ancien_Repere(tx,ty,Axe_rep);
if(!CIsDirect)
S = M_PI+M_PI-S;
lpnt[i-].SetValue(tx,ty,S);
}
Traitement_Points_Confondus(nbp,lpnt);
}
done=Standard_True;
}

上述代码的实现过程如下:先计算出圆锥曲线在圆的坐标系下的一般式方程的系数,再用圆的参数方程代入圆锥曲线的一般式将二元二次方程转换成一元三角函数方程,最后对三角函数方程进行求解。

 
Figure 2. 圆及其参数方程

4.Intersection between Ellipse and Conic

二维椭圆与圆锥曲线求交的实现与圆的实现类似,唯一不同的就是椭圆的参数方程与圆的参数稍有不同。


依然使用椭圆的参数方程将圆锥曲线的二元二次方程化为一元的三角函数方程,再对三角函数方程进行求解。相关代码如下所示:

void IntAna2d_AnaIntersection::Perform(const gp_Elips2d& Elips,
const IntAna2d_Conic& Conic)
{
Standard_Boolean EIsDirect = Elips.IsDirect();
Standard_Real A,B,C,D,E,F;
Standard_Real pcte,ps,pc,p2sc,pcc,pss;
Standard_Real minor_radius=Elips.MinorRadius();
Standard_Real major_radius=Elips.MajorRadius();
Standard_Integer i;
Standard_Real tx,ty,S; done = Standard_False;
nbp = ;
para = Standard_False;
iden = Standard_False;
empt = Standard_False; gp_Ax2d Axe_rep(Elips.XAxis()); Conic.Coefficients(A,B,C,D,E,F);
Conic.NewCoefficients(A,B,C,D,E,F,Axe_rep); // Parametre : a avec x=MajorRadius Cos(a) et y=MinorRadius Sin(a) pss= B*minor_radius*minor_radius; // SIN ^2
pcc= A*major_radius*major_radius-pss; // COS ^2
p2sc=C*major_radius*minor_radius; // 2 SIN COS
pc= 2.0*D*major_radius; // COS
ps= 2.0*E*minor_radius; // SIN
pcte=F+pss; // math_TrigonometricFunctionRoots Sol(pcc,p2sc,pc,ps,pcte,0.0,2.0*M_PI); if (!Sol.IsDone()) {
done=Standard_False;
return;
}
else {
if(Sol.InfiniteRoots()) {
iden=Standard_True;
done=Standard_True;
return;
}
nbp=Sol.NbSolutions();
for(i=;i<=nbp;i++) {
S = Sol.Value(i);
tx=major_radius*Cos(S);
ty=minor_radius*Sin(S);
Coord_Ancien_Repere(tx,ty,Axe_rep);
if(!EIsDirect)
S = M_PI+M_PI-S;
lpnt[i-].SetValue(tx,ty,S);
}
Traitement_Points_Confondus(nbp,lpnt);
}
done = Standard_True;
}

 

 

5.Intersection between Parabola and Conic

将抛物线Parabola的标准方程代入圆锥曲线的一般式方程可将二元二次方程化成一元四次方程:

再对这个一元四次方程进行求解,相关代码如下所示:

void IntAna2d_AnaIntersection::Perform(const gp_Parab2d& P,
const IntAna2d_Conic& Conic)
{
Standard_Boolean PIsDirect = P.IsDirect();
Standard_Real A,B,C,D,E,F;
Standard_Real px4,px3,px2,px1,px0;
Standard_Integer i;
Standard_Real tx,ty,S;
Standard_Real un_sur_2p=0.5/(P.Parameter());
gp_Ax2d Axe_rep(P.MirrorAxis()); done = Standard_False;
nbp = ;
para = Standard_False;
empt = Standard_False;
iden = Standard_False; Conic.Coefficients(A,B,C,D,E,F);
Conic.NewCoefficients(A,B,C,D,E,F,Axe_rep); //-------- 'Parametre' y avec y=y x=y^2/(2 p) px0=F;
px1=E+E;
px2=B + un_sur_2p*(D+D);
px3=(C+C)*un_sur_2p;
px4=A*(un_sur_2p*un_sur_2p); MyDirectPolynomialRoots Sol(px4,px3,px2,px1,px0); if(!Sol.IsDone()) {
done=Standard_False;
}
else {
if(Sol.InfiniteRoots()) {
iden=Standard_True;
done=Standard_True;
}
nbp=Sol.NbSolutions();
for(i=;i<=nbp;i++) {
S = Sol.Value(i);
tx=un_sur_2p*S*S;
ty=S;
Coord_Ancien_Repere(tx,ty,Axe_rep);
if(!PIsDirect)
S =-S;
lpnt[i-].SetValue(tx,ty,S);
}
Traitement_Points_Confondus(nbp,lpnt);
}
done=Standard_True;
}

 

6.Conclusion

圆(椭圆)与圆锥曲线相交,将圆(椭圆)的参数方程代入圆锥曲线的一般式,将圆锥曲线方程化为三角函数方程,再对三角函数方程进行求解得到交点。

抛物线与圆锥曲线相交,将抛物线方程代入圆锥曲线的一般式,将圆锥曲线方程化为一元四次方程,再对方程进行求解得到交点。

综上所述,二维圆锥曲线相交的处理都是利用圆锥曲线的一般式与相应的参数方程化为一元函数方程,再对方程进行求解。

7.References

1. 人民教育出版社中学数学室. 数学第二册上. 人民教育出版社. 2000

2. 同济大学数学教研室. 高等数学. 高等教育出版社. 1996

3. 易大义, 沈云宝, 李有法. 计算方法. 浙江大学出版社. 2002

4. 李原, 张开富, 余剑峰. 计算机辅助几何设计技术及应用. 西北工业大学出版社. 2007

5. 丘维声. 解析几何. 北京大学出版社. 1996

Intersection between 2d conic in OpenCASCADE的更多相关文章

  1. Intersection between a 2d line and a conic in OpenCASCADE

    Intersection between a 2d line and a conic in OpenCASCADE eryar@163.com Abstract. OpenCASCADE provid ...

  2. OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Hyperbola

    OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Hyperbola eryar@163.com Abstract. Rational Bezier Curve can repr ...

  3. OpenCASCADE 3 Planes Intersection

    OpenCASCADE 3 Planes Intersection eryar@163.com Abstract. OpenCASCADE provides the algorithm to sear ...

  4. Game Physics Cookbook (Gabor Szauer 著)

    Chapter1: Vectors Chapter2: Matrices Chapter3: Matrix Transformations Chapter4: 2D Primitive Shapes ...

  5. Two analytical 2d line intersection in OpenCASCADE

    Two analytical 2d line intersection in OpenCASCADE eryar@163.com Abstract. OpenCASCADE geometric too ...

  6. OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Circle

    OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Circle eryar@163.com Abstract. The conic sections and circles pl ...

  7. OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Parabola

    OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Parabola eryar@163.com Abstract. Rational Bezier Curve can repre ...

  8. OpenCASCADE BRepMesh - 2D Delaunay Triangulation

    OpenCASCADE BRepMesh - 2D Delaunay Triangulation eryar@163.com Abstract. OpenCASCADE package BRepMes ...

  9. Qt with OpenCascade

    Qt with OpenCascade 摘要Abstract:详细介绍了如何在Qt中使用OpenCascade. 关键字Key Words:Qt.OpenCascade 一.引言 Introducti ...

随机推荐

  1. ListView实现丰富的列表功能

    ListView实现丰富的列表功能 1.主布局activity_main.xml <?xml version="1.0" encoding="utf-8" ...

  2. 关于安装Ubuntu系统时提示“分配到/的分区/dev/sdax开始于xxxx字节,使用磁盘的最小对齐,这可能造成非常差的性能..."的解决办法

    由于Windows系统的VMware出了一些问题,索性就不用VM了,直接装上双系统好了.但是在最后安装时出现错误提示“分配到/的分区/dev/sdc1开始于3584字节,使用磁盘的最小对齐,这可能造成 ...

  3. DC、CDC及CDC的各个子类

      设备描述表是一个包含设备信息的结构体(物理设备如显示器.打印机),MFC中关于图像操作都需要DC来完成.HDC是Windows的一种数据类型,是设备描述句柄:CDC是MFC封装的Windows 设 ...

  4. svn回到某个历史版本的做法

    作者:朱金灿 来源:http://blog.csdn.net/clever101 一.在选中的文件上弹出svn的右键菜单,单击"Updateto revision"菜单项,如下图: ...

  5. inception - resnet

    只有reduction-A是共用的,只是改了其中的几个参数 linear是线性激活. 结构是一样的

  6. hibernate 不与数据库对应的注解

    @Transient          此注解必须写到get方法上

  7. python 调试大法-大笨蛋的笔记

    说在前面 我觉得没有什么错误是调试器无法解决的,如果没有,那我再说一遍,如果有,那当我没说 一.抛出异常 可以通过 raise 语句抛出异常,使程序在我们已经知道的缺陷处停下,并进入到 except  ...

  8. Unity Shader (四)顶点程序示例

    1.在顶点函数中实现凸起效果 Shader "Custom/Example" { properties { _R(,))= //圆的半径,也是凸起的范围 _OX(,))= //x轴 ...

  9. CMSIS-RTOS 时间管理之时间延迟Time Delay

    时间管理 Time Management 此RTOS除了可以把你的应用代码作为线程运行,它还可以提供一些时间服务功能,使用这些功能你就可以访问RTOS的一些系统调用. 时间延迟Time Delay 在 ...

  10. 【习题 8-18 UVA - 1619】Feel Good

    [链接] 我是链接,点我呀:) [题意] 在这里输入题意 [题解] 用单调队列求出l[i]和r[i] 分别表示i的左边最近的大于a[i]的数的位置以及i右边最近的大于a[i]的数的位置. 则l[i]+ ...